平面的基本性质

1、平面的基本性质三维目标一、知识与技能1了解平面的概念，会用符号语言、图形语言表示空间中的点、直线、平面的位置关系2了解平面的基本性质的三条公理和三个推论，并能用其解释一些生活中的具体问题3通过由模型示范抽象出“平面”概念以及到三条公理和推论的文字叙述培养学生观察能力与空间想象能力4通过对三个公理和三个推论的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力提高学生的几何语言水平二、过程与方法1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生习惯于共同思考、观察和实验2通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象、特殊与一般的辨证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辨证观点三、情感态度与价值观借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想教学重点1 空间点、直线、平面间的位置关系的文字、图形、符号语言表示2平面的基本性质的三条公理、推论及其作用3公理3和三个推论中“有且只有一个”的含义的理解教学难点1平面的无限延展性

2、的理解2符号语言的正确使用3对于公理3和三个推论中的“有且只有一个”语句的理解第5课时一、课题导入问题1：平静的湖面，广阔的草原，大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象呢？问题2：用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么？问题3：如何形象直观地在纸上表示平面？如何表示点与直线，直线与平面的位置关系？要解决以上问题，需要掌握一定的立体几何知识，这就是我们后面将要学习的内容点、线、面之间的位置关系，今天这节课我们先来研究它们的基础知识平面的基本性质二、讲授新课1平面的特点问题：请同学们观察纸盒，它是由几个面构成的？ 答：6个面问题：还有哪些面留给我们平面的形象呢？答：桌面、黑板、地面、海平面问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？答：很大，很平说明：以上例子给我们“平面”的直观，平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点，一个平面可以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条直线的一部分，因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分2平面的画法

3、通常我们画出直线的一部分来表示直线，同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面，当我们从适当的角度和距离来观察桌面或黑板面时，感到它们都很象什么图形呢？答：平行四边形 通常画平行四边形来表示平面，但有时不，如四面体，又如三个平面相交且交于一点 在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45，横边画成邻边的两倍，如果是非水平平面，只要画成平行四边形；如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画 453平面的表示法在一个希腊字母的前面加“平面”二字，如平面，平面，平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内 用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面 A D B C用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面4点、直线、平面之间的基本关系空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示文字语言符号语言图形语言点在直线上（或直线经过点） P l点不在直线上（或直线不

4、经过点）P l点在平面内（或平面经过点） A点在平面外（或平面不经过点）直线在平面内（或平面内经过直线）直线在平面外（或平面内不经过直线）或直线与直线相交于点【例1】已知命题：10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50 m，宽是20 m；黑板面是平面；平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念其中正确的命题是_5平面的基本性质平面都有哪些基本性质呢？我们就来通过生活实例来探究一下平面的基本性质请同学们拿出你的一支笔，如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上的所有点都能在桌面上？公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内请分别用符号语言和图形语言来表示公理1图形语言：符号语言：问题：公理1说明了什么？它可以帮助我们解决哪些几何问题？答：公理1说明了平面与曲面的本质区别 通过公理1可以解决两类问题判定直线或点是否在平面内；检验平面【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？解：这条直线和这个平面只有一个公共点假如这条直线

5、和这个平面有两个公共点，根据公理1可得，这条直线上所有的点都在这个平面内，推得这条直线过平面外的一点也在这个平面内，这与已知矛盾，说明直线与这个平面有两个公共点是不可能的所以，这条直线与这个平面只有一个公共点请同学们拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面请分别用符号语言和图形语言来表示公理2，并在教室内寻找符合公理2的空间模型图形语言：符号语言： 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线问题：公理2说明了空间中的什么问题？它可以帮助我们解决哪些几何问题？答：公理2揭示了两个平面相交的主要特征； 通过公理2可以解决两类问题判断两个平面是否相交；判定点是否在直线上【例3】已知：在平面外，求证：三点共线证明：又 （公理2）同理可证： 要证明空间诸点共线，通常证明这些点

6、同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上问题：为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？分析：由于小孩小的时候，小脑还没有发育好，身体平衡能力还很差，不能很平稳的用双脚直立并行走，所以借助于一只手和两个膝盖来确定一个平面或用两只手和一个膝盖来支撑一个面，来使身体在爬行过程中保持平衡，在老了的时候，身体的平衡能力也会下降，借助于拐杖支起一个平面来保持身体在行走过程中的平衡，你能说出其中的道理吗？答：三点确定一个平面 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面请用图形语言和符号语言来表示公理3图形语言：符号语言：问题：如何理解公理3中的“有且只有一个”？公理3可以帮助我们解决哪些问题？答：“有且只有一个”的含义：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一 通过公理3可以解决两类问题确定平面；证明两个平面重合【例4】为什么用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚呢？答：因为不共线的三点可以确定一个平面课堂练习课本P23 练习2、3、4、5课后作业课本P28 习题

7、1、2、3补充：用符号语言表示下列语句，并画出图形直线l过平面内一点A，且过外两点B、C平面与的交线为l，直线m在内，直线n在内，且m、n与l分别交于点P、Q平面与相交与直线l，直线m在内，直线n在内，且m、n都与l平行第6课时一、复习回顾上一节课我们一起学习了平面的有关概念和它的三个基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面练习1点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为（ ）A B C D2下列推理，错误的是（ ）ABCD3下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，表示平面）；其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_我们解决立体几何问题的常见思路是尽可能把立体几何问题转化为平面几何问题，公理3为我们确定平面提供了理论依据和具体方法，但这还不够，这节课我们来学习公理3的三个推论，为我们确定平面提供更多的途径二、讲授新课推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面

8、图形语言：符号语言：已知：直线l，点， 求证：过直线l和点A有且只有一个平面证明：在直线l上任取两点B、C点A不在直线l上A、B、C不共线A、B、C有一个平面 （公理1）B，C在l上经过直线l和点A的平面一定经过点A，B，C经过不共线的三点A，B，C的平面只有一个 （公理3）经过直线l和点A的平面只有一个【例1】已知：， 求证：直线AD、BD、CD共面证明：直线l与点D可以确定平面 （推论1）又又 （公理1）同理：，直线AD、BD、CD在同一个平面内，即它们共面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面图形语言：符号语言：已知：直线a，b且求证：过a，b有且只有一个平面证明：在a上取不同于点P的点A过直线b和点A只有一个平面 （推论1） 即过a，b只有一个平面【例2】已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面证明：如图（1），当Q，S，R三点重合时，如图（2）a，b可确定一个平面 （推论2）同理：共面推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面图形语言：符号语言：已知：直线，且求证：过有且只有一个平面证明：由平行线的定义，在同一平面内，这就说，有平面设点A为直线a上任

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