均值与方差

1、学案68离散型随机变量的均值与方差导学目标：1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2能计算简单离散 型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.课酢堆备IS I回扣裁材掰实基砒-Hr BM W 【自主梳理1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2 xi xnPP1 iPi p(1) 均值称E(X) = 为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的.(2) 方差称D(X)= 随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，其 随机变量X的标准差.2均值与方差的性质(1) E(aX+ b)=.(2) D(aX+b)=.(a，b 为实数)3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)=，D(X)=若 XB(n, p)，则 E(X)=，D(X)=1B9【自我检测1 .若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxD.20c2092. (2011.菏泽调研)已知随机变量X服从二项分布，且E(X) = 2.4, D(X) = 1.44,则二项 分布的参数n，p的值为()A. n=4,

2、 p = 0.6B. n=6, p=0.4C.n=8，p=0.3D. n = 24, p = 0.13. (2010.全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的 种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A. 100B. 200C. 300D. 4004. (2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为3得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的，记x为该毕业生得到面试的公司个数.若p(x=0)=2，则随 机变量X的数学期望E(X)=.5. (2011杭州月考)随机变量E的分布列如下：-101Pabc其中a, b, c成等差数列.若E(勺=3则D()=im mi a im; im *a 探究点一离散型随机变量的期望与方差【例11袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n= 1,2,3,4).现从袋中任取一球，E表示所取球的标号.(1) 求d的分布列、期望和方差；(2) 若 n=ad+b, E(n) = 1

3、, D(n)=11，试求 a, b 的值.变式迁移1编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.(1) 求随机变量X的分布列；(2) 求随机变量X的数学期望和方差.探究点二二项分布的期望与方差例2】(2011.黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试 验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在 一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设 每只小白鼠服用A有效的概率为2,服用B有效的概率为(1) 求一个试验组为甲类组的概率；(2) 观察3个试验组，用d表示这3个试验组中甲类组的个数，求d的分布列和数学期望.变式迁移2某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是3遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间d的分布列及期望.探究点三离散型随机变量期望与方差的应用例3 购买某

4、种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买 保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了 这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1 0.999 1C4.(1) 求一投保人在一年度内出险的概率p；(2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不 小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).变式迁移3因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树 的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前 的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量 的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾 前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产 量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令

5、(i = 1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(1) 写出乞、的分布列；(2) 实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计 利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大？1.若 n = a + b ,则 E(n)二 aE() + b , D(n)二 a2D().2 若 B(n , p),则 E()二 np , D()二 np(1 - p).3 求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求E 的线性函数n = a+b的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解； （3）如能分析所给随机变量，是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用 它们的期望、方差公式求解.课jg绯习屢霜题縉练规范答超im an rHH（满分:75 分）一、选择题（每小题5分，共25分）4a9P0.50.1bA.52.A.3.B. 6C. 7D. 8设B(n,

6、 p)，若有E() = 12, D()=4，则n、p的值分别为()2 1113B. 16, 2C. 20, 6D. 15, 4随机变量 X 的分布列为18,则E（5X+4）等于（） A.4.15B. 11A.C.X124P0.40.30.3D. 2.3设掷1枚骰子的点数为,E() = 3.5, D() = 3.52E() = 3.5, D() = 3.5C. 2.2 贝y(B.D.3512E() = 3.5，D() = 16E() = 3-5， D() =1. （2011.福州质检）已知某一随机变量的概率分布列如下，且E（） = 6.3，则a的值为 （）5. （2011成都调研）已知抛物线y=ax2+bx+c （aM0）的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、 cW3,2,1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量为“labI的取值”，则的 数学期望（）为（）1D.3C.fA 8c 3A.9二、填空题（每小题4分，共12分）6. （2011上海）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P(=x)?!?请小牛同学计算的数学期望.尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“？”处字

7、迹模糊, 但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E（）=.7. （2011.泰安模拟）设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P（X=k） = ak+b（k = 1,2,3,4）.又 X 的均值 E（X） = 3，则 a+b=.8两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E（X） =三、解答题（共38分）9. （12分）（2011江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工 资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料， 另外4杯为B饮料，公司要求此员工品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定 为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望10. (12分)(2011山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对 A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5, 0.5.假

8、设 各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的分布列和数学期望E(.11. (14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、 1.18 万元、1.17万元的概率分别为6、2、3已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次 调整中，价格下降的概率都是p(0p1).设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整， 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为d，对乙项目投资十万元，d取0、1、2时，一年 后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量d2分别表示对甲、乙两项目各 投资十万元一年后的利润.(1) 求d2的概率分布和数学期望E(dJ、E(d2);(2) 当E(d)vE(d2)时，求p的取值范围.学案 68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理1. (1)x1p1+x2p2Hxpi xpn 数学期望平均水平(2)f (x.-E(X)2p.平均 i=1偏离程度算术平方根：D(X) 2.(1)aE(X)+b (2)a2D(X)3. (1)p p(1-p) (2)np np(1-p)自我检测1. C 2.B 3.B454.3解析 由题意知P(X - 0) - *1 - p)2詁，.p - 随机变量X的分布列为：X0123P11_5_1123126E(X) = 0Xl12 + lx3+2Xl52 + 3Xi=l-559课堂活动区例1】解题导引 要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个 值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法.第(2)小题注意性质E(ad + b)二aE(勺 + b , D(a+b)二 Q2D的应用.解(1疋的分布列为01234111_3_1P22010205E() 0Xj + 1 + 2X丄 + 3X3 + 4X11.5.722010205D (0 - 1.5)2X 1 + (1 -出仃 2o +(2 - j.5)2X jO + (3 - j.5)2X 20

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