【最新教材】北师大版数学选修11教案:第1章教材点拨:充分条件与必要条件
7页1、新教材适用北师大版数学充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件图1-1BAC命题的条件和结论是构成命题的两个部分,并且条件和结论可以互相转化。当一个命题为假命题时,可以说条件不能推出结论;而当命题为真命题时,可以说由此条件能推出结论。所以一个命题从条件和结论的角度看,条件与结论有着一定的关系,即:由条件能否推出结论?如果由命题的条件能推出结论,那么命题就是真命题,此时条件就叫结论的充分条件。物理模型的直观解释:如图1-2-1 电路图,当开关A闭合时,灯泡B亮,而当灯泡B亮时,开关A却不一定是闭合的;即要使灯泡B亮,只要开关A闭合着一个条件就够了,我们就称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分条件。一般地,“若,则”是一个真命题,是指由通过推理可以得出,即由可推出,记作,那么,就称条件是结论的充分条件(sufficient condition)。“若,则”是一个真命题,是指由通过推理可以得出,即由可推出,记作,那么,就称是的充分条件(sufficient condition)。例如:,那么,“”是“”成立的充分条件;,那么,“”是“”成立的充分条件;三边对应相等的两个三角形全等:“三边对应相等
2、”是“两个三角形全等”的充分条件;“”是函数为幂函数的充分条件;警示:充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论,或者要是此结论成立,只要具备此条件就够了,而当命题不具备此条件时,结论也有可能成立。例如,当时,成立,但是,当时,也可以成立,即时,也成立,所以,是成立的充分条件,也是成立的充分条件。【例】仿照示例改写下列命题,并判断条件是否为充分条件:示例:若,则,可以改写成:;是充分条件;(1)个位数字是0的自然数能被5整除;(2)对角线相等的四边形是矩形;(3)与同一平面所成的角相等的两条直线平行;(4)若定义域为的函数为奇函数,则解:(1)个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除;是充分条件;(2)四边形的对角线相等这个四边形是矩形;不是充分条件;(3)两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行;不是充分条件;(4)定义域为的函数为奇函数;是充分条件。点拨:本例还是练习命题的条件和结论,同时判断此命题的真假,由命题的真假可以判断条件是否为充分条件,当命题为真时,条件是充分条件;当命题为假时,条件不是充分条件。针对性练习:下列各题中,哪些是的充分
3、条件:(1):且,:;(2):,:;(3):,:;(4):直线平面,:。解:(1)是的充分条件;(2)是的充分条件;(3)不是的充分条件;(4)不是的充分条件;点拨:可以用两种方法判断:(一)判断命题的真假,如(4)是命题如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行,是假命题;(二)由:(1)因为且所以,即;(2)由得:代入得:=右边;BAC图1-2(3)观察,式子的正负是由和两个式子的符号确定的,不能由一个式子的符号确定。二、必要条件如图1-2 电路图,当开关A闭合时,灯泡B不一定亮,但是当开关A不闭合时,灯泡B一定不亮;当灯泡B亮时,可以知道开关A一定是闭合的;所以要使灯泡B亮,开关A必须是闭合的,我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件。一般地,“若,则”是一个真命题,是指由通过推理可以得出,即由可推出,记作“”那么,结论是条件的必要条件(necessary condition)。“若,则”是一个真命题,是指由通过推理可以得出,即由可推出,记作“”,那么,就称是的必要条件(necessary condition)。 警示:由必要条件的定义可以看出,必要条件
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