空间曲面与空间曲线学习总结

1、面及其方程一曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空 间曲面可由方程来表示，反过来也成立。为此，我们给出如下定义：若曲面S与三元方程F (x, y, z)0有下述关系：1、曲面S上任一点的坐标均满足方程(1)；2、不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)。那么，方程称作曲面S的方程，而曲面S称作方程(1 )的图形。下面，我们来建立几个常见的曲面方程。【例1】球心在点Mo(xoyozo)，半径为R的球面方程。解：设M(xyz)是球面上的任一点，那么M0M R,V(x - x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R即：(x x )2 + (y y )2 + (z z )2 R2 0 0 0(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。反过来，不在球面上的点M(X，y，Z)，M 到 M0的距离M0MR，从而点MfM的坐标不适合于方程(2)。故方程(2)就是以00M0(X0yoZ0)为球心，R为半径的球面方程。若球心在原点，即M0(X0 y0Z0) 0(0,0,0)，其球面方程为x 2 + y 2 + z 2 R 2兀【例2】设有点A

2、(1,2,3)和B(2, l,4)，求线段AB垂直平分面的方程。兀 4 BM (x, y, z)解：所求平面 是与4和B等距离的点的几何轨迹，设是所求平面上任意 的一点，则AM BM(x 一 I)2 + (y 2)2 + (z 一 3)2 ：(x 一 2)2 + (y + 1)2 + (z 一 4)2 即：人化简得2 x 6 y + 2 z 7 = 0兀这便是平面的方程。上述两例告诉我们如下事实：x, y, z作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量 丿 之间(x, y, z)的方程一般地表示点的轨迹所形成的曲面。因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；一 x, y, z第二、已知坐标的方程，研究该方程所表示的曲面形状。二旋转曲面【例3】设有一条过原点，且与？轴夹角为的直线L，求直线L绕？轴旋转所产生的曲 面的方程。(L绕轴旋转时，始终z与轴保持定角 )L yozM (0, y, z) t解：设L开始位于丿 平面，1-1 1是L上一点，则z = y - ctgi iL MM(x, y, z) L M

3、当L转动时，点 1转到点在L的转动过程中，点M的竖坐标满足z = z1且点 M 到 z 轴的距离满足Jx2 + y2 = | y从而z = .：；x2 + y2 ctga(3)或 z2 = a2 (x2 + y2)或其中a = ctga这表明：曲面上任一点M的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果M不在曲面上，那么 直线M与？轴的夹角就不等于，于是，点M的坐标就不满足方程(3)。因此，方程 (3)便是所求的曲面方程。上述曲面称之为圆锥面，动直线L与z轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角称为圆锥 面的半顶角。一般地，我们给出旋转曲面的定义如下： 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直 线叫做旋转曲面的轴。yozz = y ctgz显然，圆锥面是一种旋转曲面，求丿 平面上的直线绕z轴旋转所成y + ,;x 2 + y 2的圆维面，只需将丿改成，即可得到圆锥面的方程z = ：x2 + y2 ctga用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。yozCf (y, z) = 0 C z设在丿 平面上有一条已知曲线C，它的方程为，将C绕轴旋转周，得到以？轴为轴的旋转曲面。

4、M设 1M(x,y,z)时总有时，总有则f (yi, zi) = 0，当点Mi旋转到点点M到z轴的距离为vx 2 + y2 = |yjz = z y = jx2 + y2f (y , z ) = 0将i , i代入方程i i 得到f (px2 + y2, z) = 0这便是所要求的旋转曲面的方程。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为f (y, 士 ； x2 + z2)二 0三柱面x 2 + y 2 = R 2【例4】方程 丿表示怎样的曲面？x 2 + y 2 = R 2 xoyr解：在 丿面上表示圆心在原点，半径为R的圆。在空间直角坐标中，该方程不含变量z，即不论z取何值，只要横坐标x和纵坐标y适M (x, y, z)x 2 + y 2 = R 2合方程的空间点均在该曲面上。也就是说，过圆 丿上的点且平行于z轴的直线都在该曲面上。zxoyx 2 + y 2 = R 2因此，曲面是由平行于z轴的直线沿 丿面上的圆 丿移动而形成的。xoyx2 + y2 R2z这一曲面称作圆柱面。面上的圆 丿称之为准线，那些平行于z轴且过准线的直线叫做母线一般地，我们给出柱面的定义如下：平行于定直线并

5、沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹称之为柱面。定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线。空间曲线及其方程一、空间曲线一般方程我们知道，空间直线可看作两个相交平面的交线。一般地，空间曲面也可看作两个相交 曲面的交线。设F (x，y,z) 0和G( x，y,z) 0是两个相交曲面的方程f F (x, y, z) 0则方程组tG( x, y, z) 0(1)表示交线的方程，称为空间曲线的一般方程。厂 x 2 4 y 2 4 z f【例5】方程组y 2 表示什么曲线？解：因为x2 4y2 4Z表示双曲抛物面，y 2表示平行于在xOz面的平面，它们 的交线是平面y 2上的抛物线。实际上将y 2代入x2 4y2 4z，得x2 4(z + 4)， 因此它表示平面y 2上，顶点在(，2,4)开口向上的抛物线。二、空间曲线的参数方程我们还知道，空间直线L的参数方程为x x + mt0 y0 + nt、Z Z0 + Pt(一8 t +8)这里x, y, Z都是参数t的线性函数。一般地，如果x，y，Z是参数t的函数，方程组(2)x = x(t)y = y (t)z = z (t)通常表示一条空间曲线C，

6、方程组（2）叫做空间曲线的参数方程。当给贮二1时，就得到 曲线C上的一个点（Xi yi Zi）；随着t的变动便可得到曲线C上的全部点。【例7】设圆柱面x2 + y2二R2上有一质点，它一方面绕z轴以等角速度旋转，另一方面以等速度Vo向z轴正方向移动，开始时即t = 0时，质点在A（R,0,0）处，求质点运动 方程。解：设时间t时，质点在M（x，y,z）（如图6-34）, M是m在xOy面上的投影，则ZAOM=申=ty = OM sin 申=R sin t图 6-34因此质点的运动方程为x = R cos t y = R sin tx = OM cos 申=R cos tz = v t l 0 此方程称为螺旋线的参数方程。三、空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C为准线，母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy 面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，简称投 影。如何来求空间曲线C的投影柱面和投影曲线呢？设空间曲线C的方程为f F （x, y, z） = 0G （x, y, z） = 0（3）消去变量z得方程H （x, y） = 0（

7、4）由上节知道，方程（4）表示母线平行于z轴的柱面。而方程（4）是由方程组（3）消去z后所得的结果，因此满足（3）的x, y必定满足（4）， 这说明方程组（3）所表示的曲线C上的所有的点都在方程（4）所表示的柱面上。因此方程（4）所表示的柱面必定包含以方程组（3）所表示的曲线C为准线，母线平 行于z轴的柱面，即空间曲线C关于xOy面的投影柱面。而方程组f H （x, y ） = 0z = 0所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy面上的投影。同理，消去方程组（3）中变量x或变量y再分别和x = 0或y = 0联立，我们就可得包含空间曲线C在yOz面或xOz上的投影的曲线方程:R(y, z)二 0x 二 0T (x, z) = 0y 二 0例9】设一立体由上半球面z = “-x2 - y2和锥面z =耳3(兀2 + y2)所围成(图6-35),求它在xXy面上的投影。 解：半球面和锥面的交线为 z = J 4 - x 2 - y 2 C： z = J3(x2 + y2)消去z，得到x2 + y2二1，容易看出，这恰好是交线C关于 xOy面的投影柱面，因此交线C在xOy面上的投影曲线为厂x 2 + y 2 二 1图 6-351z 二 0这是一个xOy面上的圆。于是所求立体在xOy面上的投影就是该圆在xOy面上所围成的部 分:

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