湖南省衡阳市2023_2024学年高三数学上学期11月质量检测
16页1、2024届高三11月质量检测试题数学本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则中元素的个数为( )A.1B.4C.6D.72.已知是虚数单位,则复数的虚部是( )A.B.C.D.3.设a,b是空间两条不同直线,则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为( )A.B.C.D.5.已知向量,满足,且,则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.D.6.如图是一坐山峰的示意图,山峰大致呈圆锥形,峰底呈圆形,其半径为,峰底A到峰顶的距离为,B是山坡的中点.为了发展当地旅游业,现要建设
2、一条从A到B的环山观光公路,当公路长度最短时,公路距山顶的最近距离为( )A.B.C.D.7.已知函数满足,对任意实数x,y都有成立,则( )A.B.C.2D.18.已知,函数与的图象在上最多有两个公共点,则的取值范围为( )A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若a,则下列命题正确的是( )A.若且,则B.若,则C.若,则D.若,则10.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在14的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是( )参考数据:,A.B.若该食品储藏温度是21,则它的保鲜时间是16小时C.D.若该食品保鲜时间超过96小时,则它的储藏温度不高于711.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:,则( )A.B.当n为奇数时,C.数列为等比数列D.数列的前n项和小于12.已知正方体的棱长
3、为2,P是正方体表面上一动点,且,记点P形成的轨迹为,则下列结论正确的是( )A.,B.,C.的长度是8D.的长度是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列的前n项和为,若,则_.14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程_.15.已知关于x的不等式恰有一个整数解,则实数a的取值范围是_.16.已知函数则方程的解的个数是_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数和在处有相同的导数.(1)求;(2)设是的极大值点,是的极小值点,求的值.18.(本小题满分12分)如图,在斜四棱柱中,底面正方形的中心是O,且平面.(1)证明:平面平面;(2)若该四棱柱的所有棱长均为1,求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)为了加快实现我国高水平科技自立自强,某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位:亿元)的散点图,其中年份代码110分别对应年份20132022.图1 图2根据散点图,分别用模型,作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的
4、经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一些统计量的值:752.2582.54.512028.35表中,.(1)根据残差图,判断模型和模型哪一个更适宜作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由;(2)(i)根据(1)中所选模型,求出y关于x的经验回归方程;(ii)设该科技公司的年利润(单位:亿元)和年研发投入y(单位:亿元)满足(且),问该科技公司哪一年的年利润最大?附:对于一组数据,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.20.(本小题满分12分)在数列中,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求的值;(3)若数列满足,求证:.21.(本小题满分12分)在中,为边上的高,已知.(1)若,求的值;(2)若,求的最小值及取最小值时k的值.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)讨论函数的零点个数.2024届高三11月质量检测数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为,所以,有6个元素,故选C.2.【答案】A【解析】,所以复数的虚部为
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