常见辅助线作法

1、辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线,简单介绍几种方法:方法一:从已知出发作出辅助线:DABCEFMN例1已知：在ABC中，AD是BC边的中线,是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,求证:F=分析：题设中含有D是C中点,E是A中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法:(1)过D点作DNCA，交B于N,可得N为BF中点，由中位线定理得N=，再证EFDEN,则有F=D，进而有AF=（）过D点作MB，交C于M,可得F=CM,F=AF，则有A方法二：分析结论，作出辅助线ABDCE 例2：如图,AD是ABC的高,AE是BC的外接圆直径，求证：ABAC=EAD分析：要证ABAC=AEA,需证（或），需证AEAC（或ABDAEC),这就需要连结BE(或CE），形成所需要的三角形，同时得ABE=AC900(或ACE=00)又E=C(或=E)因而得证。方法三:“两头凑”(即同时分析已知和结论）作出辅助线ABCDEFM例3：过AC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AEED=2

2、AFB分析:已知D是B中点,那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE,则应有一条与F平行的直线。所以,过D点作DMF交AB于M，可得，再证BF=2即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径ABCDEO例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于、两点,求证:AC=D分析：过O点作OEAB于E,则E=BE,CE=DE,即可证得AC=BABCDE12O（)有直径,构成直径上的圆周角(直角)例：已知：如图,以AB的AC边为直径,作O交C、A于D、E两点，且，求证:B=C 分析：连结A，由于C为直径,则有ABC，又，有1=2，由内角和定理得B=(3）见切线,连半径，证垂直ABCDO123例6：如图，B为O的直径,C为O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为,求证：A平分DB分析：连结C,由于D为切线，可知OD，易证：1=，又因为2=，所以=3,则可得AC平分D（)证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线经过O上的一点,并

3、且O=OB,CA=CB；ABCO求证：直线A是O的切线分析：连结OC，要证AB是的切线，需证CAB，由已知可证OACB，可得OA=CB0，结论得证.例8：已知，梯形ABD中,BCD，=900,BC是的直径，B=DB，ABCDOE求证：AD是O的切线分析：过O点作OAD，垂足为E，要证A是的切线，只要证OE是O的半径即可,也就是说需要证E,由于A900,A,可得ACDOE，再由平行线等分线段定理得D=EA，进而由梯形中位线定理得O，所以E点在上，是O的切线。(二)练习、已知: 如图，在ABC中，ADD,AEEC.求证： DEBC,DEBC。2、已知: 如图273。12所示，在梯形ABC中,ADBC,ABE,DFCF.求证: EFBC,EF=(AD+BC)3、已知:如图。33所示,在BC中。AD=DB，BE=C，F=C。求证：AE、DF互相平分。4、如图:已知：AB为O的直径，弦CDA,为上一点,A的延长线交DC的延长线于F，求证:AMD=FC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将

4、复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距(或者作垂直于弦的半径或直径,有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以RABC的直角顶点A为圆心,直角边AB为半径的A分别交B、于点D、E, 若10cm,D=6m,求的半径。解：过作AHBD于H,则。BAAC,CB=AB=90。又BH=CBA，AHBA,，,。 例2.如图，AB是O的直径，OAB交O于点P,弦PN与AB相交于点M,求证：.证明:过O作OCN于点C，则.OCNP，OAB，POM=CO=0.又OPM=PO，OP，,，即。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形,并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角)例3。如图,AB为半圆的直径，O于H，BH与OC交于E，若BH1，求E的长。解：连结BC。 AB为直径,ACBC。又OHA,A=BO， OHBC,

5、OHECE，OE=BCE,OHECE，。例4.如图，B是半圆的直径， C为圆上的一点, CDA于D,求证:。证明：连结C、B。 为直径， CB90,12=90。又CDA，C=CB=0,1+3=90，32，CCA，即.评析:由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中,利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线)例5.如图,已知MN为O的直径，A是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若PAPM，求A的度数。解：连结OP，设的度数为x.PA=P,M=A，同理可得PM=M，A=PM+M=2A2。又AP切O于点P，APOP,A+POA=9,即x+x=90，解之得=30，=0.例6如图，A为O的直径,为O上的一点,D和过C点的切线垂直，垂足为D，求证.证明:连结O.DC切O于点C，OCC。又ADC,OA，13。OA=O，2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径,利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角,常作

6、直径构造直角三角形(若题中有三角函数但无直角三角形,则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点、B、C在上（AC不过O点），若ACB=0,A=6,求O半径的长.解:作直径A,连结。AB与D都是所对的圆周角，ACB=。又AD是直径，ABD=9，,。例.如图,在锐角ABC中，若BC=a，=b，B=，BC的外接圆半径为R,求证：。证明:作直径D，连结B.CD为直径，CBD=90,。又A=D,，即，同理可得,，。评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30、45、60、等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线(或者作两圆的连心线）例9。如图，O1和2外切于点A，C是O1和O2外公切线,B、C为切点,求证:ABAC。证明:过点A作O1与2的公切线A交于点M。MA和MB分别切1于点A、B，M=MB，同理可得MMC，M=MC,即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上,AC。例10.如图，A和B外切于点P,D为、的外公切线，C、为切点，若A与的半径分别为r和r，求：CD的长;B的度数.解：连结A，连结C、D,过点作AED于.、CD是A和

7、的外公切线，、为切点，AC，DC。又EBD,四边形CDE为矩形,CD=AE，E=AC=r,B=BD-E=3-=.AB=r+3=4r,。、在RAB中，,B=6。评析：在解决有关两圆相切的问题时,常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和(或差)等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交,常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11。如图，1和O2相交于A、B两点，D是O1的直径,且圆心O1在O2上，连结D并延长交O于点，求证：C1D。证明：连结AB. AD为的直径,ABD=9,+BA90。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，BO1,即C=A，D+C=0,CO1AD。例12.如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦A的长为12,求OA2的度数.解：连结A、O2，使之交于H点。AB为O1与O的公共弦，连心线O1O2垂直平分AB，1=45，O2AH=30，O1A2=OAHO2AH=5。评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线,公共弦可以联通两圆中的弦、角关系,而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图11：D、E为A内两点，求证:AB+ACDE+C。证明：(法一)将DE两边延长分别交A、AC 于M、N, （法二：图1-2） 延长BD交 AC于F，廷长CE交B于G,二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如:如图1：已知为BC内的任一点，求证:BDCBA。分析：因为BC与B不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于 在内角的位置；证法一：延长B交AC

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