新编高考第一轮复习数学：2.2函数的表示

1、2.2函数的表示知识梳理1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.2.复习目标（1）由所给函数表达式正确求出函数的定义域；（2）掌握求函数值域的几种常用方法；（3）能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；（4）会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.点击双基1.（2004年春季安徽）若f（sinx）=2cos2x，则f（cosx）等于A.2sin2x B.2+sin2xC.2cos2xD.2+cos2x解析：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（cosx）=f（sinx）=1+2sin2（x）=1+2cos2x=2+cos2x.答案：D2.（2004年湖北，3）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为A. B.C.D.解析：令=t，则x=，f（t）=.f（x）=.答案：C评述：本题考查函数的定义及换元思想.3.（2005年春季北京，文2）函数f

2、（x）=|x1|的图象是解析：转化为分段函数y= 答案：B4.函数y=的定义域为_，值域为_.答案：1，2 0，典例剖析【例1】 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是A.aB.12a0C.12a0D.a剖析：由a=0或可得12a0.答案：B【例2】 在ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.解：设ADC，则ADB.根据余弦定理得12y22ycos（3x）2， 12y22ycos（）x2. 由整理得y.其中 解得x.函数的定义域为（，）.评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.【例3】 若函数f（x）=的值域为1，5，求实数a、c.解：由y=f（x）=，得x2yax+cy1=0.当y=0时，ax=1，a0.当y0时，xR，=a24y（cy1）0.4cy24ya20.1y5，1、5是方程4cy24ya2=0的两根.评述：求f（x）=（a12+a220）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意

3、二次项系数为字母时要讨论.闯关训练夯实基础1.函数y=的值域是A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1.1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），则y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B2.如果ff（x）=2x1，则一次函数f（x）=_.解析：设f（x）=kx+b，则ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.由于该函数与y=2x1是同一个函数，k2=2且kb+b=1.k=.当k=时，b=1；当k=时，b=1+.答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1+3.已知f（x24）=lg，则f（x）的定义域为_.解析：设x24=t，则t4，x2=4+t.f（t）=lg.f（x）=lg（x4）.由得x4.答案：（4，+）4.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如下图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.解：AB=2x，则=x，AD=.y=2x+=（+2）x2+lx.由0，解得0x.5.（2005年北京市西城区模拟题）已知函

4、数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.解析：f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=当x3时，x（x3）102x5，故3x5.当x3时，2x10x5，故5x3.总之x（5，5）.答案：2 x|5x5培养能力6.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）= 试求f（2002）的值.解：20022000，f（2002）=ff（200218）=ff（1984）=f1984+13=f（1997）=1997+13=20xx.7.设f（x）=2x+1，已知f（m）=，求f（m）.解：f（m）=，2m+1=. 2m=1.而f（m）=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=（2m）+1=（1）+1=2.8.（理）（2003年重庆市高三毕业班诊断性考试）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听

5、次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4311.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则y1=25+（4x+3x+x+x）0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.24x+0.43x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.令y1y2，即25+1.9x10+6.8x，解得x3.06.总次数为（4+3+1+1）23.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.（文）（2005年北京东城区模拟题）定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2（x2）sgnx的解集是_.解析：分类讨论.答案：（，+）探究创新9.图是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.（1）试说明图上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.

6、（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解：（1）点A表示无人乘车时收入差额为20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.（2）图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是增加票价.深化拓展（1）图、图中的票价是多少元？图中的票价是多少元？（2）此问题中直线斜率的实际意义是什么？答案：（1）图中的票价是2元.图（3）中的票价是4元.（2）斜率表示票价.思悟小结1.并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法.2.求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式，可用待定系数法；如果已知复合函数fg（x）的表达式来求f（x），常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑配法求解.3.要熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题，应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等.当特殊方法不易解决时，再采用一般方法如方程法求解.如一题可有多种方法解决时，应注意选择最优解法.教师下载中心教学点睛1.用换元法解决问题时，应提醒学生注意“新元”相应的取值范围.2.强化待定系数法在求函数解析式中的重要作用.3.新课改对函数的图象表示提出了更高的要求，要加强图象表示的教学.拓展题例【例题】 已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.解：设扇形的弧长为l，则l=102r，S=lr=（5r）r=r2+5r.由得r5.S=r2+5r的定义域为（，5）.又S=r2+5r=（r）2+且r=（，），当r=时，S最大=.又S52+55=0，S=r2+5r，r（，5）的值域为（0，.

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