非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求和中的应用毕业论文

1、毕业论文非正弦周期信号有效值的概念在无穷级数求和中的应用年 级:09物理 学 号:09041208 姓 名: 专 业:应用物理 指导老师: 二零一三年六月目 录目 录2摘 要4ABSTRACT5第1章 非正弦周期信号的分解61.1 非正弦信号61.1.1 非正弦信号的产生61.1.2 非正弦信号的分类61.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）61.2.1谐波信号函数61.2.2非正弦信号的谐波叠加71.3 非正弦周期信号的傅里叶分解81.3.1三角函数的正交性81.3.2傅里叶系数与傅里叶级数81.3.3收敛定理-狄利赫利充分条件91.3.4周期与非周期的傅里叶级数91.4 非正弦周期信号的频谱分析10第2章 有效值的概念102.1 有效值的定义102.1.1电流的有效值112.1.2电压的有效值112.2 周期信号有效值的定义112.1.1周期电流的有效值112.1.2周期电压的有效值112.2 有效值的实质12第3章 非正弦周期信号有效值123.1 有效值的计算方法123.1.1按定义计算133.1.2按傅里叶系数计算133.2 有效值恒等式的推广-帕塞尔瓦等式133.2.1帕塞尔

2、瓦定理143.2.2帕塞尔瓦定理在周期信号分析中的应用15第4章有效值的概念在无穷级数求和中的应用154.1 一类无穷级数与傅里叶系数的关系164.1.1傅里叶系数的特性164.1.2数项级数与傅里叶系数的关系174.2 求一类数项级数的和184.3 应用举例20结 论22致 谢23参考文献24附 录 1 傅里叶级数的希尔伯特空间25摘 要本文通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开，得到了有效值的计算公式。分析了有效值的意义，并从物理方面揭示了把一个周期函数表示成傅里叶级数的意义。利用非正弦周期信号有效值的公式得到了积分恒等式，不仅给级数求和提供了新思路，而且丰富了帕塞尔瓦定理的应用。最后，通过例子，总结归纳无穷级数求和的解题技巧，使求解这类问题有章可循。关键词：非正弦周期信号； 傅里叶级数； 有效值； 帕塞尔瓦等式； 数项级数求和AbstractWe develop a formula for root mean square values by an application of Fourier series expansion of a periodic function. The

3、 paper analyzed the meaning of root mean square values, and the paper reveals the significance of expressing a periodic function by Fourier series in physical aspects. It has obtained an identity of integration by the formula of root mean square values of no sinusoidal periodic signal. Not only a new method about the sum of series is obtained, but also the application of parseval theorem has been enriched.Keywords: no sinusoidal periodic signal; Fourier series; Fourier coefficients; root mean sq

4、uare values; parseval equation; the sum of series第1章 非正弦周期信号的分解1.1 非正弦信号在生产和科学实验中，通常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。1.1.1 非正弦信号的产生例如，通信工程传输的各种信号（如收音机、电视机收到的信号）波形都是非正弦波。这些信号是由各种频率的正弦信号叠加而成的。另外，如果电路中存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的电压和电流。1.1.2 非正弦信号的分类非正弦的电压和电流又可分为周期的和非周期的两种。本文主要分析的是非正弦周期的电源和信号。1.2 非正弦周期信号（谐波函数的叠加）在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数，即 其中为周期函数的周期，为自然数。 非正弦周期电流、电压或信号，也都可以用周

5、期函数表示。在高等数学中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。1.2.1谐波信号函数谐波信号函数，谐波信号关于的导数：仍就是谐波，一种比原信号函数超前周期的信号。且谐波信号仅由振幅、角频率和初相位决定。这些特点决定谐波信号函数可以作为一个基本周期函数，若对于任意一个信号，都能分解成谐波的叠加，那么对于信号分析就比较简单方便了。1.2.2非正弦信号的谐波叠加在工程中我们常常遇到的一类重要信号就是周期信号。诸如，具有能量存储的自然响应、无电阻损耗的理想电路和无摩擦损耗的理想机械系统的自然响应都是周期的，而且事实上它们都是由一些基本信号组成，例如：。其中一个基本周期信号就是谐波信号函数按某一规律确定的函数序列称为函数系。 如下形式的函数系：为基本三角函数系。如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。比如：函数实现了将不同频率正弦波逐个叠加成方波。如果我们取跟多的函数组合，甚

6、至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。由此可知：傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近。在线性电路中，应用叠加定理可计算多个不同频率的电源作用时电路中的电压和电流。若电路中的电源是一个非正弦电源，同样可以用叠加方法进行分析。即运用数学方法将该非正弦量分解为多个分量，每个分量相当于作用着不同频率的电源。这样，就可采用叠加方法进行了。当非正弦周期信号分解为傅里叶级数后，可视为含有直流和一系列频率成整数倍的正弦激励作用于电路，因此其分析计算方法与多个不同频率正弦激励的电路分析计算方法实际上是一致的。叠加定理作为线性电路的一个基本分析方法，可以使多个激励的电路问题化为简单激励的电路问题来研究。1.3 非正弦周期信号的傅里叶分解1.3.1三角函数的正交性三角函数有以下性质（1）正弦、余弦信号在一个周期内的积分为0，即 。（2）三角函数的正交性：在上正交，即其中任意两个不同的函数之积在上的积分为零。由于所以有： 同理可证： （3）但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于零，而是有： 。1.3.2傅里叶系数与傅里叶级数 为的周期。，为傅里叶系数，按下列公式计算：可见周期函数

7、可以分为以下分量：第一项称为周期函数的恒定分量（或直流分量），即第二项称为一次谐波（或基波分量）第三、第四项分别称为二次谐波、三次谐波，依此类推。1.3.3收敛定理-狄利赫利充分条件在高等数学中，凡是满足狄利赫利条件的周期函数都可以分解为傅里叶级数。在工程中遇到的非正弦周期量一般都满足狄利赫利条件。如：对于给定的周期函数f(t)，若满足狄利赫利条件,即，（1）周期函数的极值点数目为有限个；（2）间断点的数目为有限个；（3）在一个周期内绝对可积，即有，（有界）；则可展开成如下的傅立叶级数: 为的周期。，为傅里叶系数。1.3.4周期与非周期的傅里叶级数 定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件, 则它的傅里叶级数展开式为 , 其中系数an , bn 为 (n=0, 1, 2, ), (n=1, 2, ). 当f(x)为奇函数时, , 其中(n = 1, 2, ). 当f(x)为偶函数时, , 其中 (n = 0, 1, 2, ). 1.4 非正弦周期信号的频谱分析LCarleson(卡尔松，1928-)指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛。可知傅里叶级数是一

8、个收敛的无穷三角级数，其谐波分量的幅值随谐波次数的增高而诼渐减少。因此，在工程上，一般只需要前几项之和，便能近似地表征非正弦周期函数。为了表示一个周期信号分解为傅里叶级数后包含哪些频率分量以及各分量所占比重，常用频谱（图）来表示。描述各谐波分量的振幅与频率的变化关系的图形称为幅度频谱。描述各谐波分量初相与频率的变化关系的图形称为相位频谱。由于各谐波的角频率是的整数倍，所以这种频谱是离散的，也可以称为线频谱。又由于高次谐波分量在幅度频谱中所占的“比重”相对较少，因此视工程要求的精度及级数收敛的快慢，可选择截取有限的项数，近似地代表信号函数。第2章 有效值的概念2.1 有效值的定义在两个相同的电阻器件中，分别通过直流电和交流电，如果经过同一时间，它们发出的热量相等，那么就把此直流电的大小作为此交流电的有效值。有效值也称为均方根值。2.1.1电流的有效值将一直流电与一交流电分别通过相同阻值的电阻，如果相同时间内两电流通过电阻产生的热量相同，就说这一直流电的电流值是这一交流电的有效值。2.1.2电压的有效值让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻,使它们在相同时间内产生的热量相等,就可以把该恒定电压的数值规定为这个交变电压的有效值。2.2 周期信号有效值的定义交流电的有效值等于在相同电阻上在一个周期内所获得的相同功耗（发热）的直流电流/电压。2.1.1周期电流的有效值周期性电流通过电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电流在相同时间内通过所产生的热量，则直流电流称为周期性电流的有效值。（1）当直流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：。（2）当交流电流流过电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：。即2.1.2周期电压的有效值周期性电压加在电阻时，在一个周期内所产生的热量若等于直流电压在相同时间内加在所产生的热量，则直流电流称为周期性电压的有效值。（1）当直流电压加在电阻时该电阻在周期时间T内消耗的电能为：。（2）当交流电压加在电阻时该电阻在周期时间内消耗的电能为：。即2.2 有效值

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