和差化积、积化和差、万能公式
7页1、正、xx和差化积公式指部分的一组sin%+sinB=2sin(%+B-)/2)/2,cos(%sin-sinB=2cos(%+B)/2B)/2Sin(%cos%+cosB=2cos(%+B)/2)/2cos(%cos-cos-2sin(%+B)/2-BS/n(【注意右式前的负号】以上四组公式可以由公式推导得到证明过程sin%+sin3=2sin(%+小)?2)/2勺证腮过程因为sin(%+B)=sin%cosB+cos%sin(31 / 7sin(-0)=sinDCcoos苗sinB将以上两式的左右两边分别相加,得sin(%+B)+sin()=2sin%cosB设a+3=0a-3=(|)那么%=(0+0)/2,(&阶/2把“B的值代入,即得sin0+sin6=2sin(8+6)/2明s(0正切的和差化积tan%士tanB=sin(*B)/(cos证明)cosB)cot%cotB=sin(B)/(sin-sin(3)tan%+cotB=coS()/(cos%sinB)tan-cotB-cos(%+B)/(cos风.sinB)证明:左边=tan%tanB=sin%/cos%sin(3/co
2、sB=(sin%-cosBcos%,sinB)/(cosa,cos(3)=sin(%B)/(cos右边cosB)=等式成立注意事项在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用化为同名;若是高次函数,必须用降为一次口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然生动的口诀:(和差化积)帅+帅=帅哥帅-帅二哥帅咕+咕=咕咕哥-哥二负嫂嫂反之亦然记忆方法和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是-1,1,其积的值域也应该是-1,1,而和差的值域却是-2,2,因此乘以2是必须的。也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:cos(或-cos(%+B)=(cos%cosB+sin-(csin破Cosin%sinB)=2sin%sinB故最后需要乘2。只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数
3、,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中,必须先把口和(3表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于口和就这两个角应该是(%+8)/2(优8)/2也就是乘积项中角的形式。注意和差化积和积化和差的公式中都有一个除以2,但位置不同;而只有和差化积公式中有乘以2”。使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是半差角”(-移)/2的三角函数名。是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。(阮(3)/2的三角函数名规律为:和化为积时,以cos(-破)/2的形式出现;反之,以sin(-磁)/2的形式出现。由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么口和(3调换位置对结果没有影响,也就是若把(阮(3)/2替换为(-%)/2结果应当是一样的,从而(优(3)/2的形式是cos()/2另一
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