北师大九年下第一章学案

1、第一章 直角三角形的边角关系 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标 :1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程 . 理解正切的意义和与现实生活的联系2. 能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外 能够用正切进行简单的计算 .学习重点 :1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系 学习难点 :理解正切的意义，并用它来表示两边的比 . 学习方法 :引导探索法 .学习过程 :一、生活中的数学问题 :1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：如图：梯子 AB和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？以下三组中，梯子 AB和 EF哪个更陡？你是怎样判断的？B1C1 和 B2C 2AC1 AC2有什么关系？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）Rt AB1C1和 RtAB2C2有什么关系 ?如果改变 B2 在梯子上的位置 （如 B3C3） 呢?由此你得出什么结论 ?三、例题：例 1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡例 2、在 ABC中， C=

2、90，BC=12cm，AB=20cm， 求 tanA 和 tanB 的值 .四、随堂练习：tanC 吗 ?1、如图， ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m后到达山顶的点 B，已知点 B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度 .（ 结果精确到 0.001）3、若某人沿坡度 i 3： 4 的斜坡前进 10 米，则他所在的位置比原来的位置 升高 米.4、菱形的两条对角线分别是16 和 12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 ，则 tan 5、如图， Rt ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 的长 .( 结果保留根号 )AB的长为 12 m，它的坡角为 45 1： 1.5 的斜坡 AD，求 DB五、课后练习：1、在 RtABC中,C=90,AB=3,BC=1,则 tanA= .2、在 ABC中 ,AB=10,AC=8,BC=6, 则 tanA=.3、在 ABC中 ,AB=AC=3,BC=4,则 tanC=.4、在 Rt ABC中, C是直角, A、 B、C的对边分别是 a、b、c,

3、且 a=24,c= 25,求 tanA、 tanB 的值 .5、若三角形三边的比是 25:24:7, 求最小角的正切值56、如图 , 在菱形 ABCD中,AEBC 于 E,EC=1,tanB= , 求菱形的边长和四 12边形 AECD的周长 .A处以 20cm/s 的速度向37、已知:如图,斜坡 AB的倾斜角 a,且 tan = 3 ,现有一小球从坡底4坡顶 B处移动 ,则小球以多大的速度向上升高 ?8、探究 :、 a克糖水中有 b克糖(ab0), 则糖的质量与糖水质量的比为 ; 若再添加 c 克糖(c0), 则糖的质量与糖水的质量的比为 . 生活常识告诉我们 : 添加的糖完全溶解后, 糖水会更甜 ,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: .、 我们知道山坡的坡角越大 , 则坡越陡 , 联想到课本中的结论 :tanA 的值越大 , 则坡越陡 , 我们会得到一个锐角逐渐变大时 ,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律 , 请你写出这 个规律 :.、如图 , 在 RtABC中, B=90,AB=a,BC=b(ab), 延长 BA、BC,使 AE=CD=c, 直线 CA、 DE交于点

4、 F,请运用 (2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你 提炼出的不等式 . 1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)学习目标：1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2. 能够运用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 .4. 理解锐角三角函数的意义 . 学习重点：1. 理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明 .2. 能用 sinA 、 cosA 表示直角三角形两边的比 .3. 能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 . 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切 .学习方法：探索交流法 .学习过程： 一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1) 直角三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2有什么关系 ?A1C1 A2 C2BC1 BC2(2) A1C1 和 2 2 有什么关系 ? 1 和 2 呢 ?BA1BA2BA1 BA2(3) 如果改变 A2 在梯子 A1B上的位置呢 ?你由此可得出什么结论 ?(4) 如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论

5、 请讨论后回答 .、由图讨论梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系：三、例题： 例 1、如图，在 Rt ABC中， B=90， AC200.sinA 0.6 ，求 BC的长 .例 2、做一做：12 如图，在 Rt ABC中， C=90， cosA ，AC10，AB等于多少 ?sinB 呢?cosB、sinA13 呢?你还能得出类似例 1 的结论吗 ?请用一般式表达 .四、随堂练习：1、在等腰三角形 ABC中， AB=AC 5，BC=6，求 sinB ， cosB， tanB.42、在 ABC中， C90， sinA ， BC=20，求 ABC的周长和面积513、在 ABC中 . C=90，若 tanA= ，则 sinA= .24、已知：如图， CD是 RtABC的斜边 AB上的高，求证： BC2 ABBD.（ 用正弦、余弦函数 的定义证明 ）五、课后练习：1、2、3在 RtABC 中, C=90,tanA= , 则 sinB=4在 RtABC 中, C=90,AB=41,sinA= 9 , 则 AC=41,tanB=,BC=在 ABC中,AB=AC=10,sinC= 4 ,则

6、BC=.5在 ABC中, 已知 AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是333A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB= 454 5、如图,在ABC中,C=90,sinA= 3,则 BC等于( )5 AC3 D. 45536、RtABC 中, C=90, 已知 cosA= , 那么 tanA 等于 ( )5A. 4 B. 3 C. 4 D. 5 3 4 5 4 7、在 ABC中， C=90 ,BC=5,AB=13, 则 sinA 的值是3、4、A. 3 B. 443C.D.5A 5B 138、已知甲、乙两坡的坡角分别为 ( )A.tan tan B.sin1213、12 , 若甲坡比乙坡更徒些 sin ; C.cos cos 9、如图 , 在 RtABC中,CD是斜边 AB上的高 , 则下列线段的比中不等于 sinA 的是( )A.CDB.DBC.CBD.AC CBABCDCB10、某人沿倾斜角为 的斜坡前进100sinB.100sin100m,则他上升的最大高度是 ( )m100C. D. 100cos cos11、如图 ,分别求 , 的正弦 ,余弦,和

7、正切 .12、在 ABC中,AB=5,BC=13,AD 是 BC边上的高 ,AD=4. 求:CD,sinC.13、在 RtABC中, BCA=90,CD 是中线 ,BC=8,CD=5. 求 sin ACD,cosACD 和 tan ACD.14、在 Rt ABC中, C=90,sinA 和 cosB 有什么关系415、如图 ,已知四边形 ABCD中,BC=CD=DB, ADB=90,cos ABD= .5 求： sABD： sBCD1.2 30 、 45、 60角的三角函数值学习目标：1. 经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义 .2. 能够进行 30、 45、 60角的三角函数值的计算 .3. 能够根据 30、 45、 60的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1. 探索 30 、 45、 60 角的三角函数值 .2. 能够进行含 30、 45 、 60角的三角函数值的计算 .3. 比较锐角三角函数值的大小 . 学习难点： 进一步体会三角函数的意义 . 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入 问题 为了测量一棵大

8、树的高度，准备了如下测量工具：含30 和 60两个锐角的三角尺；皮尺 . 请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度 .二、新课 问题 1 、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度 ? 问题 2 、 sin30 等于多少呢 ?你是怎样得到的 ?与同伴交流 .问题 3 、 cos30 等于多少 ?tan30 呢 ? 问题 4 、我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45、 60 ，它们的三角函数值分别是多少 ?你是如何得到的 ?结论：三角函数角度sin cotan 304560 例 1 计算： 22(1)sin30 +cos45 ；(2)sin260 +cos260-tan45 例 2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60，且两边的摆动角度相同， 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 .( 结果 精确到 0.01 m)三、随堂练习1. 计算：(1)sin60 -tan45(2)cos60+tan60；(3) sin45 +sin60 -2cos452sin30231( 2 +1) -1+2sin30 - 8；(1+ 2 ) 0- 1-sin301+( 1 )-1；2 sin601 tan60-3 0 2-3 -( 2003+) 0-cos601.1 2 .2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30. 高为 7 m，扶梯的长度是多少 ?3如图为住宅区内的两幢楼，它们的高ABCD=30 m，两楼问的距离 AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况 . 当太阳光与水平线的夹角为 30时，求甲楼的影子在乙楼上有 多高 ?（ 精确到 0.1 m ，

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