人教课标版高中数学必修4第一章-三角函数三角函数的诱导公式习题2

1、 三角函数的诱导公式1.(必修4P20练习2改编)计算：tan 2 010=.【答案】【解析】tan 2 010=tan 30=.2.(必修4P19例1改编)计算：cos=.【答案】-【解析】cos=cos =cos=-cos =-.3.(必修4P20练习3改编)化简：sin2(+)-cos(+)cos(-)+1=.【答案】2【解析】原式=(-sin )2-(-cos )cos +1=sin2+cos2+1=2.4.(必修4P21例4改编)若cos=-，则sin的值为.【答案】-【解析】sin=cos=cos=-.5.(必修4P23习题17改编)已知sin=a，那么sin-sin2+1=.【答案】a+a2【解析】sin-sin2+1=sin-sin2+1=sin-cos2+1=sin+sin2=a+a2.1.诱导公式-+2-+-+sin( )-sin sin -sin -sin cos cos -cos -cos cos( )cos -cos -cos cos sin -sin -sin sin tan( )-tan -tan tan -tan /诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不

2、变，符号看象限.2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)把求任意角的三角函数值转化为求0360角的三角函数值；(2)把求0360角的三角函数值转化为求090角的三角函数值；(3)求090角的三角函数值.要点导学各个击破利用诱导公式进行化简求值例1(1)已知cos(+)=-，且2，求sin(2-)的值；(2)已知=2，求tan 的值.【思维引导】将已知条件转化为单角的三角函数，再利用诱导公式求解.【解答】(1)由已知得cos =.又因为2，所以sin 0，所以sin(2-)=-sin =-(-)=.(2)=2，所以-3sin +cos =-8sin +2cos ，所以5sin =cos ，所以tan =.【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时，一要注意函数名是否改变，二要注意符号是否改变.例2已知f()=.(1)化简f()；(2)若是第三象限的角，且cos=，求f()的值.【思维引导】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.特别注意符号以及名称的变化.【解答】(1)f()=-cos .(2)因为cos=-sin ，所以sin =-，又是第三象限角，

3、所以cos =-=-=-，所以f()=.【精要点评】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.变式(2014湖南联考)设是第三象限角，且tan =2，则=.【答案】-【解析】原式=cos ，又因为tan =2，是第三象限角，所以易得cos =-.含相同变量的复合角与诱导公式的运用例3已知cos(75+)=，且是第三象限角，求cos(15-)+sin(-15)的值.【思维引导】结合诱导公式把cos(15-)与sin(-15)用条件cos(75+)=分别求出.【解答】因为cos(15-)=cos90-(75+)=sin(75+)，又是第三象限角，则sin(75+)0，所以sin(75+)=-=-.因为sin(-15)=sin-90+(75+)=-sin90-(75+)=-cos(75+)=-，所以cos(15-)+sin(-

4、15)=-.【精要点评】利用诱导公式时，要注意已知角与未知角之间的联系.变式1已知sin=a，那么cos=.【答案】-a【解析】cos=cos=-sin=-a.变式2已知sin=，求sin+cos2的值.【解答】因为+=，+x=+.所以原式=sin+cos2=-sin+=-+=.例4已知sin(3-)=coscos(-)=-cos(+)，0，0，求，的值.【思维引导】求角的大小必须先求出含这个角的某个三角函数的值，再求出这个角的大小.【解答】由已知等式可得sin =sin ，cos =cos .两式平方相加，得sin2+3cos2=2sin2+2cos2=2，即sin2+3(1-sin2)=2，则sin =.又因为0，所以sin =，=或.当=时，由可得sin =，cos =，又0，所以=；当=时，由可得sin =，cos =-，又0，所以=.故=，=或=，=.【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围，再结合三角函数值的大小完成.1.已知sin=，那么cos=.【答案】2.若sin=-，则cos=.【答案】-【解析】cos=cos=sin=-.3.(2015金陵中学)已知tan=，则

5、tan=.【答案】-【解析】因为+=，所以tan=-tan=-tan=-.4.若cos =，则=.【答案】【解析】原式=cos =.5.在ABC中，若sin(2+A)=sin(-B)，cos A=-cos(-B)，求ABC的三个内角.【解答】由已知得所以sin2A+3cos2A=2，所以cos A=.当cos A=时，cos B=，又因为A，B是三角形的内角，所以A=，B=，C=；当cos A=-时，cos B=-，A，B均为钝角，不合题意.所以A=，B=，C=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第4546页.【检测与评估】第23课三角函数的诱导公式一、 填空题 1.计算：sin 210=. 2.计算：cos =. 3.计算：tan=. 4.若sin=，且，则tan=. 5.若cos(-80)=k，则tan 100=. 6.已知sin=，那么cos的值为. 7.已知A=+(kZ)，那么A的值构成的集合为. 8.若sin(-)-cos(-)=，则sin3(+)+cos3(2-)的值为.二、 解答题 9.化简：(kZ).10.已知函数f()=.(1)求f的值；(

6、2)若2f(+)=f，求+cos2的值.11.已知cos=，求cos-sin2（-）的值.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f(cos x)=cos 5x，则f=；f=；f(sin x)=.【检测与评估答案】第23课三角函数的诱导公式1. -【解析】sin 210=-sin 30=-.2. -【解析】cos =cos =-cos =-.3. 【解析】tan=tan=tan =.4. -2【解析】因为sin=，所以cos=，sin=-，则tan=-2.5. -【解析】由题意知cos 80=k，所以sin 80=，tan 80=，所以tan 100=tan(180-80)=-tan 80=-.6. -【解析】cos=cos=-sin=-.7. 2，-2【解析】若k为偶数，则A=+=2；若k为奇数，则A=+=-2.8. -【解析】由题知sin -cos =，两边平方，得1-2sin cos =，所以sin cos =，所以sin3(+)+cos3(2-)=-sin3+cos3=-(sin -cos )(sin2+sin cos +cos2)=-=-.9. 当k为偶数时，原式=1；当k为奇数时，原式=1.故当kZ时，原式=1.10. (1) f()=cos ，所以f=cos=cos=cos=.(2) 2f(+)=2cos(+)=-2cos ，f=cos=-sin ，所以-2cos =-sin ，所以tan =2.原式=+=+=+=.11. 因为cos =cos=-cos=-，sin2=sin2=1-cos2=1-=，所以cos-sin2=-=-.12. -sin 5x【解析】在原式中，令x=，得f=cos=cos=-cos=-. 因为cos=，所以在原函数式中，令x=，得f=f=cos=cos=cos=. 因为sin x=cos，所以用-x代原函数式中的x，得f(sin x)=f=cos=cos=cos=sin 5x.

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