等角螺线及其它
12页1、等角螺线及其它 何谓等角螺线 等角螺线的方程式 趣史一则 等角螺线上的相似性质 黄金分割与等角螺线 等角螺线的弧长 等角螺线的再生性质 其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支,在十七世纪以前,几何学一词甚至可说是数学的同义词,它以往的风光可想而知。曾几何时,因为某些内在与外在的因素,几何学的地位似乎已逐渐没落;在中小学的数学教材里,几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心,因为自然环境中隐藏着许多几何原理,不了解这些几何知识,不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗?笔者从事数学教育工作多年,又是现行高中数学教科书的编者之一,对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏,实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下,只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。基于上述想法,笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面,笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一,而且许多曲线都会在自然现象中出现,它们的性质也往往能提供重要的应用。例如:天文望远镜的设计,不就是根据拋物线的反射性质吗?本文介绍等角螺线。何谓等角螺线在一片空旷的草地上,甲、乙、丙
2、、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下,四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标,那么,这四只狗所跑过的路径是什么形式呢?假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1(见图一),则根据四只狗的行动一致所产生的对称性,可知也是正方形,而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地,由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗,所以,甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说,甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成 45的夹角。同理,图一 乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成 45的夹角等等。一般而言,若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral),O点称为它的极点 (pole)。前面所提的四狗追逐问题中,每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分,此等角螺线中的定角是(或,因为切向量可选成相反方向),而其极点是正方形的中心O。等角螺线的方程式在
3、坐标平面上,若极坐标方程式表示一等角螺线(),其极点是原点O,定角为 ( ),则因在点的切向量为所以,可得即由此可得下述结果:换言之,此等角螺线的极坐标方程式为在前面所提的四狗追逐问题中,若中心O是极点而点A的极坐标为,则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上:, , , 前面所提的,就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数,所以,等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。趣史一则等角螺线的性质,笛卡儿(R. Descartes, 15961650)在1638年就已经考虑过,但没有获得特殊结果。托里拆利(E. Torricelli, 16081647年)却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质,这项性质在下文中将会介绍。对于等角螺线的探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 16541705年)的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括:求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve);求等角螺线的渐屈线 (evolute);求等角螺线反演曲线 (inversive
4、 curve);求等角螺线的焦线 (caustic curve);将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation),由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话:Eadem mutata resurgo(虽然某些状况改变了,我却保持不变)。这是继阿基米德(纪元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家。等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式,可以看出:对每个 值,都有一个对应的r值;而且不同的 值所对应的r值也不同(因为)。这种现象表示:从等角螺线上某个点出发,随着 值的无限制增大与无限制减小,此曲线会环绕它的极点形成无数多圈,一面是愈绕愈远,一面是愈绕愈聚集在极点附近。若,则当时,曲线聚集在极点附近。若,则当时,曲线愈绕越远。图二是等角螺线的一部分。图二 图三 若辐角, 构成一个等差数列,则由指数的性质,对应的向径, 就构成等比数列。若令Pn表示极坐标的点,则上述结果表示, , , 构成一个等比数列。又因,所以可知与相似。由此可知:构成一个等比数列。若上述等差数列, 的公差是,P1, P2
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