线性代数知识点归纳

1、线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1 .行列式的计算:（定义法）Dnaiia2ianiai2a22an2 Hlalna2nann(i)(jij2|l|jn)aijia2j2|anjnjij 2” | jnr (2134 ) = I思考题:思定义计算行列式解；用树图分析T-2(2143 ) = 2r(2413) = 3r (2431 )= 4故 Z?=-3 + 2-12 + 9 = -4（降阶法）行列式按行（列）展开定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零ai1Ajiai 2 Aj211 | ain AjnA, i j,0, i j.（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积若A与B都是方阵（不必同阶）关于副对角线:an1范德蒙德行列式:X12X1n 1X1a b型公式:abbbabbbak1ki1iPbbb，则OBa2nX22X2nx2III aIIIab110ain

2、xn2 xnn 1Xnb220Hlan1bl1b22 | Ubnn(n 1)b(abnnAB1)mn Al Ba2n 1XiXjnn 1b)an(1)n(n 1)-2-aina2n|an1（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法2之间的一种关系一一称为递推公式，其中（递推公式法）又n阶行列式Dn找出Dn与Dn 1或Dn 1, DnDn，Dn 1，Dn 2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.（数学归纳法）2 .对于n阶行列式|A，恒有：| E Ann ( 1)kSk n k ,其中Sk为k阶主子式;k 13 . 证明A 0的方法:、|A|A ；、反证法;、构造齐次方程组 Ax 0,证明其有非零解;、利用秩，证明r(A) n ;、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：Mij (1)ijAijAij(1)i jMij第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解ana121.矩阵的定义 由m n个数排成

3、的m行n列的表Aa2iIa22a2n称为m n矩阵.am1am2 J amn记作：Aaj m 口或Am n同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵运算a.矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加b.数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作,规定为 A ( aj).c.矩阵与矩阵相乘：设 A (aij)ms,B (bj)snUCAB(cij)m n ,a.b.其中bijcij(ai1, ai2,ais) Jai1b1 jai2b2jIII注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律八一，a j 一An分块对角阵相乘：A用对角矩阵,即公式ABABBA不成立.0 或 B=0A22B1,BABA11B11A22B22的对角线上的各元素依次乘此矩阵的,AnAn1A22A的转置矩阵，记作AT .a.对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵AT .b.分块矩阵的转置矩阵:一 *伴随矩阵：A AjAA A A AE,分块对角阵的伴随矩阵:A是反对称矩阵 AAT.AnAnATBTCTDTA21A221A2nIllA1.*BA*ABAj为A 中各个元素的代数余子式(1)mn B A1

4、)mn A Ba 00b1bl2bna1bl2ahnB0 a20b21b22b2na2 b21a2 b22a2b2 n11111111144.4f44in1 k110 0IIII am1 bm1fbm2“j bmnpambn11 ambm2IIIP ambmnc.用对角矩阵GB乘一个矩p车，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的例）向量如IIIb1nQ0 0如1a2bi2IIIamb1nBb21b22b2n0a20ab21a2 b22amb2n111111i III +1 ni1以1bm2IIIbmn00 |jam汕a2 bm2IIIambmnd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘方阵的哥的性质：AmAn Am n , (Am)n (A)mn矩阵的转置：把矩阵 A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵转置的性质：(AT)TA(AB)T BTATATIA(A1)T (AT) 1(AT)(A)T矩阵可逆的性质：(A1) 1 A_1_ 11(AB) B AAIA1.1 . k ,Ak1. k(A ) (A ) A伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB) B AAllAn1(

5、A1)(A) 1 J(Ak) (A )kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n11ABiA|B|AkIAkAA A A | A E （无条件恒成立）2.逆矩阵的求法 方阵A可逆0. ，A伴随矩阵法 A iAAadbc主换位副可变号初等变换法（A，E）I初等行变换(E,Ai)分块矩阵的逆矩阵ICBB ICA i Baiaiia3a2a2a3a3ia2i与配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义ABBA3 .行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 I,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵4 .初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj (cicj)E(i, j)一1 一E(i,j) E(i, j)E(i, j) 1ri k ( G k )E(i(k)Ei(k) 1 Ei(i)Ei(k)|kri 口 k ( g 5 k)E(i,j(k)Ei,j(k) 1 Ei,j( k)Ei,j(k)|

6、1矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等 变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A；对A施行一次初等 例）变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 逊乘A.注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵5 .矩阵的秩 关于A矩阵秩的描述:、r（A） r , A中有r阶子式不为0, r I阶子式（存在的话）全部为0;、r(A) r , A的r阶子式全部为0;、r(A) r , A中存在r阶子式不为0;?矩阵的秩的性质:r(A) 1; A Or(A) 0; 0 r(Am n) & min( m, n) r(A)r(AT) r( ATA) r(kA)r(A) 其中k 0若Am n,Bn s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0的解 r( AB) & minr(A),r(B)P、Q可逆,r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ);即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解r(Amn)r(AB) r(B)A 在矩阵乘法中有左消去律ABABO B OAC B Cr(Bns)r(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.若r(A

7、) ra与唯一的0r o等价，称ErO为矩阵刖勺等价标准型. r(A B) w r(A)r(B), max r(A),r(B) w r(A,B)w r(A) r(B)r(A) r(B),r(A) r(B)?求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法(A 0)：设法化成(I) AX B 或 (II) XA BE ExA(I)的解法：构造(A；B)初等行变换(EX) (II)的解法：构造I初等列变换B(II)的解法：将等式两边转置化为ATXTBT,用(I)的方法求出XT,再转置得X第三部分线性方程组1 .向量组的线性表示2 .向量组的线性相关性3 .向量组的秩4 .向量空间5 .线性方程组的解的判定6 .线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组1, 2, | I, nIII，若存在一组数ki,k2, ,kn使得k1 1 k2 2 I kn n，则称是1, 2, I, n的线性组合,或称称 可由1, 2,|, n的线性表示.线性表示的判别定理：可由1 , 2,1, n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线

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