矩阵在实际中的应用

1、矩阵在实际中的应用班级:小组成员:指导老师:目录摘要 3问题提出 4实际应用举例 4论文总结 10参考文献 10#【摘要】随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。我们 在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。 在学习高等代数的 过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在人口流动， 电阻电路，加密解密，文献管理方面的应用进 行了探究。【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用【Abstract 】With the developme nt of scie nee and tech no logy,mathematics is more andmore close to our life. While we are lear ning mathematics kno wledge，we cannot forget the applicatio n of mathematical kno wledge in life. I n learning the advaneed algebra course, we f

2、ound the algebra in the life and practices have an in dispe nsable positi on. In this thesis, we do research on the matrix about the populati on flow, resista nee and circuit, en cryptio n and decrypti on and docume nt man ageme nt。【Key words 】Adva need Algebra, matrix, practical, applicati on【问题提出】接触高等代数一个学期以来，并未感觉其与实际生活有多大联系。 但我们从李思 泽老师讲的高等代数在信息安全中的应用一课中了解到，其实高等代数与我 们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。 我们小组成员积极搜集 资料，认真翻阅课件，发现了高等代数与实际问题的诸多联系，而矩阵在高等代 数中又占据着极其重要的地位。近几年来，随着互联网和计算机技术的迅速发展， 科学计算在实践中的基础地位日益突出，用

3、矩阵方法解决实际问题已渗透到众多 领域。现在我们小组成员仅凭我们浅显的知识对现实中的几个问题进行分析解 决。【实际应用举例】一、人口流动问题(矩阵高次幕的应用)设某中小城市及郊区乡镇共有 30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：(1) 在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业， 6万人经商；(2) 在务农人员中，每年约有20改为务工，10%为经商；(3) 在务工人员中，每年约有20%为务农，10%为经商；(4) 在经商人员中，每年约有10%为务农，10%为务工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人 员总数之发展趋势。现做如下解答:解 若用三维向量(Xi,yi,zJT表示第i年后从事这三种职业的人员总数， 则 已知(xo,y o,zo)t=(15,9,6) T。而欲求(X1,y 1,z 1)T，(X2,y 2,z 2)T 并考察在 nx 时(X n,y n,z n)T的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为(-X=O.7xo+O.2y o+O.1zoYi=0.2x o+0.7y o+

4、O.1z 0Zi=O.1xo+O.1y o+O.8zo即h X 1r 0.7 0.2 0.1、 Xo rXo =Y=0.2 0.7 0.1yo=Ayo0.1 0.1 0.8lzo以(Xo,yo,z)T=(15,9,6) 丁代入上式，即得X12.9 =丫1=9.9乙 J7.2kJ即一年后从事各业人员的人数分别为12.9万、9.9万、7.2万人 以及X2Xo r 11.73 丫2=Ay 1=A2y o=10.23 Z1 ”Jo /.8.04 即两年后从事各业人员的人数分别为11.73万、10.23万、8.04万人进而推得X广 JnXn-1X0yn=Ayn-1=AnyoLzn /Zn-1 /0 /即n年之后从事各业人员的人数完全由 An决定。在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题 数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。 这个问题看似复杂，但通过 对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问 题的重要工具。二、电阻电路的计算如图所示的电路中，已知 R=2Q，R=4Q，R=12Q，R=4Q，R=12Q，R=4Q， R=2Q，设电压源 U

5、s=10V,求 i 3,u 4,u 7.现求解如下:解设各个网孔的回路电流分别为ia,i b和i C,由物理学定律，任何回路中诸元件上电压之和等于0.据图可列出各回路的电压方程为(Ri+R2+R)i a-R3i b=us-R3i a+(R3+R+R)i b-R5i c=0-R5i b+(R5+R+R)i c=0可写成矩阵形式为：R1+R+R-R 30ia-R3R3+R+R5-R5i b=0 u 0-R5R5+R+R 丿lie /O把参数代入，列方程如下：rrab=0 uJ- e *0 /18 -12 0 i-12 28 -12L 0 -12 18简写成Al=bus其中1=( i a,i b,i c)T。已知Us=10,解矩阵方程得1 0 r 00.9259U= 0 1 0 0.5556这就是问题的解0 0 10.3704意味着a0.9259”i b=0.5556* i ej.0.3704任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述。 直流电路构成的是实系数方 程，它的解为实数；而交流电路构成的是复系数方程，它的解为负数。所以 用矩阵方程和计算机软件就显得更为重要。由此题我们看出矩阵在表示数

6、方 面有简洁直观、表现力强的特点，是理论与实际结合的一个很好的触点。三、矩阵在密码学中的应用在密码学中，原来的消息为明文，经过伪装的明文则变成了密文。 有明文变 成密文的过程称为加密。由密文变成明文的过程称为译密。 改变明文的方法 称为密码。密码在军事上和商业上是一种保密通信技术。 矩阵在保密通信中 发挥了重要作用。例如，如图所示，当矩阵 A可逆时，对R中的所有X,等式A-1AX=X明， A-1把向量AX变回到X，A1确定的线性变换称为由A确定的线性变换的逆变 换。左乘以左乘以这使一些有心人想到可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。假设我们要送出的消息“ ACCOMPLISFTHE TASK”。首先把每个字母 A,B,C,Z映射到数1,2,3，26.例如，数1表示A,数11表示K;另外， 用0表示空格，27表示句号等。于是数集 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27-表示消息“ ACCOMPLISH THE TA”K这个消息（按列）写成 4X 5矩阵1 13 19 8 1M = 3 16 8 5 193 12 0 0 11.15

7、9 20 20 27/密码的发送者和接收者都知道的密码矩阵是1 -1 -1 1A =3 0 -3 43 -2 2 -1 .-1 1 2 -2其逆矩阵（译码矩阵）是-1 = 1/29 1 -1 75 1 -1 5-19 -1 3 -13.-21 -1 3 -15加密后的消息通过通信渠道，以乘积 AM的形式输出，接收者收到的矩阵1 -1 -1 1C = AM =3 0 -3 4 1316 8 5 193 -2 2 -13 2 0 0 111-1 1 2 -215 丿 9 20 20 2710 -6 3123 -2 54 39 137 104 78-12 22 21-6 -40 -22 9 -51 -43 -14之后接收者通过计算乘积 A-1C来译出消息，即相继变换矩阵 C的第1列，第2 列，的元素就会变回到原来的信息。上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用 数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。四、矩阵在文献管理中的应用假如数据库中包括了 n个文件，而搜索所用的关键词有 m个，如果关键词按 字母顺序排列，我们就可以把数据库表示为

8、mx n的矩阵A。其中每个关键词占 矩阵的一行，每个文件用矩阵的列表示。A的第j列的第一个元素是一个数，它表示第一个关键词出现的相对频率；第二个元素表示第二个关键词出现的相对频 率；，依次类推。用于搜索的关键词清单用 戌空间的列向量x表示。如果关 键词清单中第i个关键词在搜索列中出现，则x的第i个元素就赋值1,否则就 赋值0。为了进行搜索，只要把 A乘以X。下面我们来看一个例子：假如，数据库包含有一下书名：B1-应用线性代数，B2-初等线性代数，B3-初等 线性代数及其应用，B4-线性代数及其应用，B5-线性代数及应用，B6-矩阵代数 及应用，B7-矩阵理论。而搜索的6个关键词组成的集按以下的拼音字母次序排 列；初等，代数，矩阵，理论，线性，应用因为这些关键词在书名中做多出现 1次，所以其相对频率数不是0就是1。当第 i个关键词出现在第j本书名上时，元素A（i，j）就等于1,否则就等于0。这关键词书样我们的数据库矩阵就可用下表表示:B1B2B3B4B5B6B7初等0110000代数1111110矩阵0000011理论0000001线性1111100应用1011110假如读者输入的关键词是“应用，线性，代数”，则数据库矩阵和搜索向量为0 11 0 0 0 0 0 、1 11 1 1 1 0 1A= 0 C0 0 0 1 1，x=00 00 0 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 11 01 1 1 1 0 1 J搜索结果可以表示为两者的乘积：y=Ax，于是可得0 10 0 1 103(1 10 0 1 0 1 21 10 0 1 103y=A Tx=0 1 0 0 1 1 0 =

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