大学物理课件第八章

1、第八章 真空中的稳恒磁场一、 基本要求1掌握磁感应强度的概念。理解毕奥萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。2理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。3理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。二、 基本内容1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。2. 毕奥萨伐尔定律电流元在空间某点激发的磁感应强度为：其中，表示从电流元到该点的距离，表示从电流元到该点的单位矢量。从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心

2、处的磁场。这些计算公式在求解问题时可以直接使用。3. 磁场的叠加原理该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元，用已知公式求出电流元在所求点的磁场，然后根据的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。4. 磁场中的高斯定理该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。5. 安培环路定理该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路。6

3、. 安培定律电流元在外磁场中受安培力为：其中，的大小，方向由确定。该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为：应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线上的磁场，然后用公式求出结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同但方向相同，可以先在电流上取一小线段，求出段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同方向分布在一个平面上，可以先在电流上取一小线段，求出段电流所受的磁力，然后建立直角坐标，积分求出磁力分量，最后合成，求得电流所受到的磁场力。8载流线圈在磁场中受到的力矩式中，为线圈所围的面积，为线圈面元法向的单位矢量，称为载流线圈的磁矩，其数值为。若线圈为匝时，。9洛伦兹力运动电荷在外磁场中所受的洛伦兹力为：洛伦兹力的方由的方向和的正负决定。当的为正时，洛伦兹力的方向与的方向相同；当的为负时，洛伦兹力的方向与的方向相反。三、习题选解8-1 如图所示，一根无限长直导线通有电流，但中部一段弯曲成圆弧形，圆弧的曲率半径为，所对圆心角为。求图中圆心处的磁感应

4、强度矢量的大小和方向。 题8-1图解：点的磁感应强度由直线，及圆弧三部分载流导线所产生。由于对称性和在点产生的磁感应强度相等，方向均垂直纸面向里。由教材（8.12式）得 在圆弧上任取一电流元如图所示，它在点产生的磁感应强度的方向也垂直于纸面向里，量值为导线在产生的磁感应强度 题8-1图方向垂直纸面向里。8-2 有两个圆形线圈和，其平面相互正交，圆心重合的放置。线圈的半径，共匝，通以电流；线圈半径，共匝，通以电流。求公共圆心处的矢量。解：线圈在圆心处的磁感应强度线圈在圆心处的磁感应强度故 题8-2图 8-3 如图所示，有两根导线沿半径引向圆环电阻上的两点，并在很远处与电源相连。求环中心的磁感应强度。解：两根导线的延长线通过圆心，则在圆心产生的磁感应强度为零，点的磁感应强度由和两载流圆弧产生 题8-3图 方向垂直纸面向里 方向垂直纸面向外圆弧和组成并联电路，电阻分别为、，则又 故 点磁感应强度8-4 将一根导线做成边的多边形，多边形的外接圆半径为，设导线中有电流，求外接圆中心处的磁感应强度的大小。解：对于边多边形，每一边在圆心产生的磁感应强度的大小，方向都相同。 题8-4图又 ，故 8-5

5、 如图所示，有一闭合回路由半径为和的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为的电荷，当回路以匀角速度绕过点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心点处的磁感应强度的大小。解：小圆环带电，大圆环带电，两环转动时相当于两圆电流、题8-5图， 在点产生的磁场分别为， 题8-5图在段距点为处任取线元，带电,转动时线元相当于一圆电流,在点产生磁感应强度为段在点产生的磁场同理段在点产生的磁场8-6 如图所示，在半径为和的两圆周之间，有一总匝数为的均匀密绕平面螺旋线圈通以电流，求线圈中心点处的磁感应强度。解：均匀密绕平面螺旋电流可视作由许多圆 题8-6图形电流所组成在距圆心为处取一圆电流该圆电流在点产生的磁感应强度整个螺旋线圈在点产生的磁感应强度的方向垂直纸面向外。8-7 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外环半径分别为、，外面的圆环以每秒转的转速顺时针转动，里面圆环以每秒转的转速反时针转动。若电荷面密度都是，求和的比值多大时点处磁感应强度为零。题8-7图解：均匀带电圆环可视作由许多均匀带电环带组成，任一环带所电量为。当环带以每秒转旋转时，带电环形成圆电流，在产生磁感应强度为外圆环在产生磁场内圆环

6、在产生磁场方向相反， 。若使点磁场为零，需则 8-8 如图所示，一半径的无限长圆柱形金属薄片，沿轴向通有的电流，设电流在金属薄片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点的磁感应强度。题8-8图解：无限长圆金属薄片电流可看作由许多狭长条电流组成，任一狭长条电流为在点产生的磁感应强度的方向如图，大小为在点建立直角坐标系（如图所示），轴与夹角为，由于对称性 题8-8图8-9 半径为的塑料薄圆盘均匀带有电荷，圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的轴转动，每秒钟的转数为。求盘心的磁感应强度。解：圆盘带电荷，电荷面密度，在薄圆盘上取半径为宽为的面元。其电量为圆盘转动时面元相当一圆电流在盘中心处产生磁场题8-9图则整个圆盘在点产生磁感应强度 方向垂直纸面向里8-10 两块平行的大金属板上有均匀电流流通，面电流密度都是，但方向相反，求板间合板外的磁场分布。解：坐标轴如图所示，并设板中电流沿轴方向流动。由例8-8可知，无限大载流平板外两侧的磁场都是均匀场，在平板两侧的大小相等，但方向相反。板1的电流所产生的磁场其方向在板1左侧沿轴负方向， 题8-10图在板1右侧沿轴正方向；板2电流所产生的磁场其方向在板2左侧沿轴方向，

7、在板2右侧沿轴负方向。这样，在两个电流板将全空间分成的三个区域（板1左侧，两板之间，板2右侧）中，只有两板之间和的方向相同从而相互迭加，在两板之外全部抵销为零，在板间。8-11 矩形截面的螺绕环的内外直径分别为和，厚度为。（1）试求环内磁感应强度的分布；（2）试证明通过螺绕环截面的磁通量为，其中为螺绕环的总匝 题8-11图数，为线圈中的电流强度。解：（1）根据电流分布的对称性，可得与螺绕环共轴的圆周上各点的大小相等，方向沿圆周的切线方向。以在环内顺着环管的半径为的圆周为安培回路，则该环路所包围的电流为，故安培环路定理给出由此得 （在管内）对于管外任意一点，过该点作一与螺绕环共轴的圆周为安培环路，由于此时，所以有（在环管外）（2）由于环内磁感强度为半径的函数，所以8-12 无限长圆柱沿轴向通以电流，截面上各处电流密度均匀分布，柱半径为，在长为的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量是多少？解：由例8-6，均匀无限长圆柱形电流的磁场分布为题8-12图仿照8-11的做法，圆柱内环绕中心轴线的磁通量为8-13 如图所示，两平行长直导线相距，每条通以电流。（1）求两导线所在平面内与该两导线等距的一点处的

8、磁感应强度；（2）求通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。解：（1）将两平行长直导线分别标记为电流1和电流2，如图所示。电流1在点的磁感应强度大小方向垂直纸面向里。电流2在点的磁感应强度大小 题8-13图 方向也垂直纸面向里。在点，电流1、2产生的磁感应强度、相等，点的磁感应强度应为两者的矢量和方向垂直纸面向里。（2）取图中矩形面积的法线方向为垂直纸面向里，以导线1所在位置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。令，可得 方向垂直纸面向内则通过宽为，高为的窄条形面元的元磁通为通过斜线所示矩形面积内的磁通量8-14 如图所示，一根无限长直圆环柱形导体，其横截面内外半径分别为。导体内有电流均匀地分布在管的横截面上沿轴线方向流动。求磁感应强度。解：电流均匀分布在管的横截面上，则面电流密度题8-14图（1）在导体内任取一点，以轴线为圆心，半径为作一圆周通过该点，由安培环路定律 得题8-14图同理可得：（2）导体空腔内 （3）导体外任一与轴相距为的点磁感应强度 8-15 如图所示，一根截面积为弯成形的导线如图放置，可绕轴转动。形部分正是边长为的正方形的三边。整个导线放入匀强磁场中，的方向竖直向上。若导线的体密度为已知，导线中的电流为，平衡时导线题8-15图段和段与竖直方向成角。写出磁感应强度的计算公式。解：由于重力作用，导线框受重力矩为

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