数学归纳法在中学数学证明中的应用本科毕业论文

1、 摘 要数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，同时也是数学命题证明的一种数学思想.针对与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，在中学数学课堂教学及证明中具有广泛的运用，本文对它在中学数学不同类型证明中作简要分析，目的在于培养学生观察能力、逻辑思维能力、形象思维以及解决整体性问题的能力.数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式不完全归纳和完全归纳本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法；中学数学；应用AbstractMathematical induction is a kind of reas

2、oning methods, which is used to prove some propositions related mathematical natural number, it is also a kind of mathematical proposition proof mathematical thoughts. According to the concerned with natural number , algebraic inequalities identities, triangular, inequality series problem, geometry problems, division of sexual problems ，it has widely applied to the classroom teaching and proof in high school. As different mathematical inductions have different types of proof in middle school, th

3、is paper makes a brief analysis aims to cultivate the students observation, logical thinking ability, visual thinking and solving integrity question ability. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative explo

4、ration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to fi

5、nd and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Keywords: mathematical induction；mathematics of middle school；application目 录 第1章 绪论1第2章 数学归纳法的概述12.1 数学归纳法的来源12.2 数学归纳法原理22.3 数学归纳思想从特殊到一般22.4 数学归纳思想递推思想22.4.1 什么叫推理？22.4.2 推理的形成32.4.3 数学归纳法的形式3第3章 数学归纳法应注意的几个问题33.1 应认真领会数学归纳法的实质43.2 与自然数有关的具体命题内容的理解43.3 对数学归纳法原理的理解4第4章 数学归纳法在几种命题中的应用举例54.1 运用数学归纳法证明数列问题54.2 运用数学归纳法证明不等式问题54.3运用数学归纳法证明几何问题64.4运用数学归纳法证明整除性

6、问题74.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题8第5章 数学归纳法在中学数学中的地位和作用8第6章 结束语9致谢9参考文献9第1章 绪论数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷，总会花费人们大量的时间与精力，去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念，自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为，归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论，具有明显的推理过程，但这些推理只是简单的列举，没有涉及归纳结果，因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得几何原本中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科(FMaurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到，对于一个与自然数有关的命题，为了检验其正确与否，若采取逐一代入数进行检验的方法，那不是严格意义上的数学证明，要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的1，因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该

7、如何解决呢?1575年，莫罗利科在他的算术一书中，明确地提出了“递归推理”这个思想方法.法国数学家B帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬.在他的论算术三角形中首次使用数学归纳法，并用其证明了“帕斯卡三角形”(-项展开式系数表，中国称为“贾宪i角性”或“杨辉三角形”)等命题.“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家A德摩根1838年所著的小百科全书的引言中.德摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称.由于这种方法主要应用于数学命题的证明，德摩根又提出了“数学归纳法”这个名称.虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的.1889年意大利数学家皮亚诺(G.Peano)建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础.至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法.我国著名的数学家华罗庚曾说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益.” 数学归纳法是数学中

8、一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法，已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年) 2.Maurolico 证明了前个奇数的总和是，最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 (或)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在时命题成立，再证明时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且）结论都正确2.宏观来看，数学归纳法看似单一，可看作一个公式来证明命题，实则不然，它要求学生掌握必备的知识与技能，同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳法解决一些与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明，最终熟练掌握“归纳猜想证明2”这一思维方法，这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.第2

9、章 数学归纳法的概述数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法，有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.2.1 数学归纳法的来源数学归纳法来源于皮亚诺（peano）自然公理4，其用非形式化的方法叙述如下：（1）1是自然数；（2）每一个确定的自然数都有一个确定的后继数，记作或，也是自然数；（3）如果、都是自然数，那么= ；（4）1不是任何自然数的后继数；（5）如果一些自然数的集合S具有性质:(1)1在中；(2)若在中，则也在中.那么 = .公理中（5）就为数学归纳法提供了依据，保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理.2.2 数学归纳法原理不同的领域数学归纳法有不同的形式，在中学数学中，数学归纳法原理有以下两种基本形式4：1）第一数学归纳法设是一个关于正整数的命题，如果（1）成立(奠基)；（2）假设成立()，可以推出成立(归纳)；那么，对一切大于等于的自然数都成立.2）第二数学归纳法设是关于自然数的命题，若（1），（）成立(奠基)；（2）假设 (，)成立，则成立(归纳)；那么，(，)成立.两种数学归纳法都是分两步完成，第一步是推理的过程，第二步是递推的依据.也就相当于是对一切自然数，命题成立的话，那么后面的一个自然数都满足命题成立4.即在前一个命题成立的前提下，后一个命题就一定成立.这样依次递推下去就有了命题对任意（，)成立.这也就将有限的问题转化为无限次的验证过程了，体现了数学归纳法由无限到有限的转化.2.3 数学归纳思想从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约数学当然

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