垂径定理知识讲解提高
5页1、垂径定理知识讲解(提高)责编:常春芳 【学习目标】1 理解圆的对称性;2 掌握垂径定理及其推论;3学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.要点诠释:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1) 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.(4) 圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释: 在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图,O的两条弦AB、C
2、D互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则O的半径是 【答案】.【解析】作OMAB于M、ONCD于N,连结OA, AB=CD,CE=1,ED=3, OM=EN=1,AM=2,OA=.【点评】对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三:【变式1】如图所示,O两弦AB、CD垂直相交于H,AH4,BH6,CH3,DH8,求O半径 【答案】如图所示,过点O分别作OMAB于M,ONCD于N,则四边形MONH为矩形,连结OB, , , 在RtBOM中,【高清ID号: 356965 关联的位置名称(播放点名称):例2-例3】【变式2】(2015春安岳县月考)如图,O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,DEB=30,求弦CD长 【答案与解析】解:过O作OFCD,交CD于点F,连接OD,F为CD的中点,即CF=DF,AE=2,EB=6,AB=AE+EB=2+6=8,OA=4,OE=OAAE=42=2,在RtOEF中,DEB=30,OF=OE=1,在RtODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得:DF=,则CD=2DF
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