圆的切线的证明方法
12页1、圆的切线的证明方法天津四中 杨建成 平面内直线和圆存在着三种位置关系,即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交,这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢?证明直线是圆的切线大体上有三种方法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。其中是切线的定义,它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系;是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断;是根据切线的判定定理进行判断。和都是由推演出来的。在几何证明中,常用的是最后一种方法,具体的证法有两种:当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。例1.如图,已知AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证CD是O的切线。分析:因直线CD与O有公共点D,故应采用“连半径,证垂直”的方法。证明:连结ODOCAD COB=DAO, COD=A
2、DOOA=OD DAO=ADOCOB=COD在DOC和BOC中OD=OB,COD=COBOC=OCDOCBOCCDO=CBOAB是O的直径,BC是切线CBO=90CDO=90OD是O的半径CD是O的切线例2.如图,已知两个同心圆O中,大圆的弦AB、CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:CD是小圆的切线。分析:因直线CD与O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。证明:连结OE,过O点作OFCD于FAB与小圆相切于点EOEAB AE=BE,CF=DFAB=CD AE=CF在RtAEO和RtCFO中OA=OC,AE=CFRtAEORtCFOOE=OFCD是小圆的切线例3.如图,已知在ABC中,CD是AB上的高,且CD=1/2AB,E、F分别是AC、BC的中点,求证:以EF为直径的O 与AB 相切。分析:因直线AB与O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。证明:过O点作OHAB于HE、F分别为AC、BC的中点EFAB,且EF=1/2ABG点为CD的中点,OH=GD=1/2CDCD=1/2AB EF=CDOH=1/2EFAB为O的切线例4.如图,已知AB是O 的直径,线段AF与O相
3、切于点A,D是AF的中点,BF交O于E点,过B点的切线与DE的延长线交于C点,求证:CD与O相切。分析:因直线CD与O有公共点E,故应采用“连半径,证垂直”的方法。证法一:如图4-1,连结OE、AEAB是O的直径AEBFD是AF的中点DA=DF=DEDEA=DAEOA=OE OAE=OEAAB是O的直径,AF是O的切线DAE+OAE=90DEA+OEA=90OE是O的半径CD与O 相切于E证法二:如图4-2,连结OE、AE、ODAB是O的直径AEBFD是AF的中点DA=DE=1/2AF在OED和OAD中DE=DA,OD=OD,OE=OA在OEDOADOED=OADAB是O的直径,AF是O的切线 OAD=90OED=90OE是O的半径CD与O相切于E点评:证法一是利用了等式的性质证明OED=OAD=90, 证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明OED=OAD=90例5.如图,已知直角梯形ABCD中A=B=90,ADBC,E为AB上一点,ED平分ADC,CE平分BCD,试问以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?并证明。以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系?并证明。分析:取AB的中
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