常微分方程习题集

1、常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解-。二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.常微分方程测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点 7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解.9、

2、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、2、3、4、5、求解方程三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_.3、单选题(14%)（1）方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）方程，过点（0，

3、0）有（）.(A)一个解（B）两个解 (C)无数个解（D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时y=( ).(A) (B)(C)2 (D)e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）方程过点（）（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题41辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（

4、3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_3、单选题(14%)（1）方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（）.(A)一个解（B）两个解 (C)无数个解（D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时y=( ).(A) (B)(C)2 (D)e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）方程过点（）（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整

5、个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题5一、填空题（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3连续是保证方程初值唯一的条件一条积分曲线. 4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中， 5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程的所有常数解是 8方程所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式 10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分： 1. 2 3 4 5三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在 2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在常微分方程测试题6一、填空题（20%)1方程的所有常数解是2方程的常数解是3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线4方程的基本解组是二、选择题(25%)1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）（B）-1（C）+1（D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三4方程（）奇解（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5方程的奇解是（）（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.y-x(+)dx-xdy=04.2xylnydx+dy=05.=6-x6.=27.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系

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