常微分方程习题集
常微分方程测试题 1一、填空题 30%1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、 如果存在常数 -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解- 。二、计算题40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。4、 求方程 三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 .2、方程的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的 条件5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同零点 7、设是方程的通解，则 .8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、2、3、4、5、求解方程三、求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%） 设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题 3 1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_. 3、单选题(14%)（1）方程是（ ）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间（A）维 （B）维 （C）维 （D）维 （6）. 方程（ ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个（7）方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解4.计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分： （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 5. 计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程 的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题 4 1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_3、单选题(14%)（1）方程是（ ）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（ ）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2 (D) e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间（A）维 （B）维 （C）维 （D）维 （6）. 方程（ ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个（7）方程过点（ ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解4.计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分： （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 5. 计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程 的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题 5 一、填空题（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3连续是保证方程初值唯一的 条件一条积分曲线. 4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于 个，其中， 5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程的所有常数解是 8方程所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个二、计算题（40%） 求下列方程的通解或通积分： 1. 2 3 4 5 三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程 的满足条件的解在上存在 2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在常微分方程测试题 6一、填空题 （20%)1方程的所有常数解是 2方程的常数解是 3一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线4方程的基本解组是 二、选择题(25%)1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2. 3. 常微分方程测试题 7 一 . 解下列方程 (80%)1. x=+y2. tgydx-ctydy=03. y-x(+)dx-xdy=04. 2xylnydx+dy=0 5. =6-x6. =2 7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。 8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系
