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数列求通项公式及求和的方法

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卖家[上传人]：公****

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1、数列专题-数列求通项公式及求和的方法考点1求通项公式1、公式法：已知数列 an为等差或等比数列，根据通项公式an=a1+(n-1)d或3尸3占口进行求解.例1：已知 an是一个等差数列，且a2=1,a5=-5，求an的通项公式.变式已知等差数列%中，七。=28,七=51,求数列的通项公式。2、前n项和法：已知数列an的前n项和Sn的解析式，求an.例2 :已知数列 an 的前n项和Sn=2n-1 ,求通项an.变式已知下列各数列七的前n项和S 的公式为S =32 - 2n(n e N)，求an 的通项公式。3、sn与an的关系式法：巳知数列3的前n项和sn与通项an的关系式，求an例3 :已知数列 an 的前n项和sn满足an + 1=sn，其中a1 = 1 ,求an.变式已知an中，a =-a，且ai= 2，求数列an的通项公式.n+1 n + 2 n4、累加法：当数列an中有an-an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有规律”的数时，就可以用这种方法.例 4 : a1=0, an + 1=an+2(n-1)，求通项 an变式已知数列an的首项ai= 1，且七=an_i+

2、3(心2)，则侦5、累乘法：当数列an中有，即第n项，第n-1项的商是个有规律的数时，就可以用这种方法.例 5 : a1 = 1,an=an 1(n)，求通项 an6、构造法：(1)、配常数法：在数列3门中有an = kan-1 + b ( k,b均为常数且30 )，从表面形式上来看an是关于an-1的一次函数”的形式，这时用下面的方法：一般化方法：设an +m = k(an-1 + m)则an +m成等比数列例 6 :已知 a1 = 1,an=2an-1 + 1(n2),求通项 an(2 )配一次函数法：在数列an中有an = kan-1 + bn+c ( k,b,c均为常数且k/0 )，这时用下面的方法：般化方法：设 an+tn + u = k(an-1+t(n-1) + u)则 an+tn + u成等比数列例 7 :已知 a1 = 1,an=2an-1 + 3n-2 (n2),求通项 an(3)、取倒数法：这种方法适用于an= , (n2) ( k,m,p均为常数m/0 )，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于an = kan-1 + b的式子.例8 :已知a1

3、=2,an= (n2),求通项an取对数法：一般情况下适用于(k,l制留常数)例9 :已知a1=3,an (n2)求通项an考点2数列求和(一) 倒序相加法：将一个数列倒过来排序(倒序)，当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于s = n(a1 + a求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式2的推导。(二) 错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列七-bn的前n项和，其中an 、bn 分别是等差数列和等比数列。(三) 分组求和法所谓分组求.和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3 .已知数列an 满足气 5 +(2)nT，求其前n项和Sn。(四) 公式法(恒等式法)：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如1 + 2 + 3 + nn(n +1)1=-12 + 22 + 32 + . + n 2 = n(n + 1)(2n +1)2、6等公式。（五）拆项（裂项）相消法：若数列气能裂项成气=f （n + f （n），即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去

4、）。_1例5 .已知数列叩满足n n（n +1）,求数列叩的前n项和S”（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例.求数列1 + 21 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + + 的前 n 项和 Sn（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n的奇偶性。例7 .已知数列。广（T）n （2n T），求数列叩的前n项和、0（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n为奇数、偶数进行讨论。例8 .若an= （Dn T（4n 3），求数列an的前n项和（九）利用周期性求和：若数列叩，都有a+T = an （其中n E N 0, N 0为给定的自然数，T O 0 ），则称数列an 为周期数列，其中T为其周期。a = 2, a= 1 -例9 .已知数列an 中，1+1an ,求其前3n项的和S3n .（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10 .求数列叩前n项和S，其中气=n Sin nX .（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。例 11.求1X 3 , 3 X 5 , 5 X 7 , 7 X 9 ,，（2n-1）（2n +1）的和 Sn【课后作业】1、设数列an满足 a1= 2 ,气/ E（n e N*） ,则 an =n2、已知数列an 的前项和S 3 + 2n，则an =3、已知数列an的首项七=1，且气=2气_ +3（心2），则气=4 已知数列a 的气=1 a. = 2且a= 2a - a则a =%、已K知女乂列J n 口1， 2 且n+2n+1n，人n,5、已知等差数列中，J 28, = 51，求数列的通项公式。6、已知数列I满足气+1 =气+ 2n +1 a1 =1，求数列上的通项公式7、数列an的前咀页和Sn=32n-3，求数列的通项公式8、已知数列an的前n项和Sn = 10n + 1 ,求通项公式an

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