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利用对角线法则计算下列三阶行列式

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1、-第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1);解=2(-4)3+0(-1)(-1)+118-013-2(-1)8-1(-4)(-1)=-24+8+16-4=-4. (2);解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3. (3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a). (4).解 =*(*+y)y+y*(*+y)+(*+y)y*-y3-(*+y)3-*3=3*y(*+y)-y3-3*2y-*3-y3-*3=-2(*3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4; 解逆序数为0(2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 (2n-1)24(2n); 解逆序数为:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)(2n-1)2,(2n

2、-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)1 3 (2n-1)(2n) (2n-2)2. 解逆序数为n(n-1):3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,(2n-1)(2n-2)(n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)(2n)2, (2n)4, (2n)6, (2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1);解.(2);解 .(3);解 .(4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5.证明: (1)=(a-b)3;证明=(a-b)3. (2);证明. (3);证明(c4-c

3、3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得). (4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=*n+a1*n-1+an-1*+an.证明用数学归纳法证明.当n=2时,命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=*n-1+a1*n-2+an-2*+an-1,则Dn按第一列展开,有=*Dn-1+an=*n+a1*n-1+an-1*+an. 因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得,证明,D3=D. 证明因为D=det(aij),所以. 同理可证.7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; 解(按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=*+(n-1)a(*-a)n-1.(3); 解根据第6题结果, 有此行列式为*德蒙德行列式.(4); 解 (按第1行展开). 再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bnD2n-2, 即D2n=(andn-bn)D2n-2.于是 .而,所以 .(5) D=det(aij),其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6), 其中a1a2an0.解 .8.用克莱姆法则解下列方程组:(1); 解因为,所以 ,.(2). 解因为,所以,.9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为. 令D=0,得m=0或l=1.于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得l=0,l=2或l=3.于是, 当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解. z.

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