基础属性的拓扑性质
21页1、数智创新数智创新 变革未来变革未来基础属性的拓扑性质1.拓扑空间的基础属性1.开集和闭集的定义1.开集和闭集的性质1.拓扑基和子基1.邻域和收敛性1.分离公理和紧性1.连续性的拓扑定义1.拓扑不变量Contents Page目录页 拓扑空间的基础属性基基础础属性的拓扑性属性的拓扑性质质拓扑空间的基础属性拓扑空间的基础属性1.开集和闭集:开集是包含自身的所有子集的集合,而闭集是包含自身的所有补集的集合。2.内点和外点:一个点的内点是该点属于的任意开集中所有点的集合,而外点是该点不属于的任意闭集中所有点的集合。3.闭包和内部:一个集合的闭包是包含该集合的所有闭子集的最小闭集,而内部是包含在该集合中的所有开子集的最大开集。连通性和路径连通性1.连通性:拓扑空间中的一个子集是连通的,如果它不能被分解成两个不交集的开集。2.路径连通性:拓扑空间中的两个点是路径连通的,如果存在一条连接这两个点的连续路径。3.弧形连通性:拓扑空间中的两个点是弧形连通的,如果存在一个连接这两个点的连续弧。拓扑空间的基础属性紧致性和局部紧致性1.紧致性:一个拓扑空间是紧致的,如果它的任意开覆盖都有一个有限子覆盖。2.局
2、部紧致性:一个拓扑空间是局部紧致的,如果它的任意点都有一个紧邻域。3.海涅-博雷尔定理:一个度量空间是紧致的当且仅当它是闭且有界。分离公理1.T0分离:任意两个不同的点可以被分离成两个不同的开集。2.T1分离:任意一个点和一个不包含它的闭集可以被分离成两个不同的开集。3.正则空间:对于任何一个点和一条不包含它的闭集,都存在一个开集包含该点且不与该闭集相交。拓扑空间的基础属性度量空间1.度量:度量是定义在拓扑空间中任意两点之间的非负实值函数,满足对称性、三角不等式和恒等式的公理。2.度量空间:具有度量的拓扑空间称为度量空间。3.完备性:一个度量空间是完备的,如果它的任意柯西序列都收敛。连续函数1.连续函数:从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的函数,如果它的原像的任意开集都是目标域的开集。2.开映射定理:一个连续的满射函数是开映射。3.闭映射定理:一个连续的满射函数是闭映射,当且仅当它是度量空间上的一个映射。开集和闭集的定义基基础础属性的拓扑性属性的拓扑性质质开集和闭集的定义开集的定义1.定义:开集是集合中的元素关于集合中的任意一点的某个领域,即对于集合中的任意一点x,存在一个半径为r0的开球
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