二元一次方程组的应用例题与讲解
5页1、3.4二元一次方程组的应用1列二元一次方程组解应用题(1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤设出题中的两个未知数;找出题中的两个等量关系;根据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组;解这个方程组,求出未知数的值;检验所得结果的正确性及合理性并写出答案(2)用方程解决实际问题的几个注意事项先弄清题意,找出相等关系,再按照相等关系来选择未知数和列代数式,比先设未知数,再找出含有未知数的代数式,再找相等关系更为合理所列方程两边的代数式的意义必须一致,单位要统一,数量关系一定要相等要养成“验”的好习惯,即所求结果要使实际问题有意义不要漏写“答”,“设”和“答”都不要丢掉单位名称分析过程可以只写在草稿纸上,但一定要认真对于可解的应用题,一般来说,有几个未知数,就应找出几个等量关系,从而列出几个方程,即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等解技巧 用二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解决实际问题一般需要遵循如下步骤:审题;确定相等关系;设出未知数;解方程;检验、写出答案【例11】 为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为4
2、60克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为240克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?分析:如果1号电池和5号电池每节分别重x克,y克,则4节1号电池和5节5号电池总重量为(4x5y)克,2节1号电池和3节5号电池总重量为(2x3y)克解:设1号电池每节重x克,5号电池每节重y克,根据题意可得2,得y20.把y20代入,得2x320240,x90.所以这个方程组的解为答:1号电池每节重90克,5号电池每节重20克【例12】 “甲、乙隔河放牧羊,两人互相问数量,甲说得乙羊九只,我羊是你二倍整乙说得甲羊八只,两人羊数正相当”请你帮助算一算,甲、乙各放多少羊?分析:题中有两个未知数:甲放羊的只数和乙放羊的只数相等关系:(1)甲放羊的只数92(乙放羊的只数9);(2)甲放羊的只数8乙放羊的只数8.解:设甲放羊x只,乙放羊y只由题意,得解得答:甲放羊59只,乙放羊43只析规律 如何列方程组解应用题在列方程组解决实际问题时,应先分析题目中的已知量、未知量是什么,各个量之间的关系是什么,找出它们之间的相等关系,列出方程(组),建模过程即可完成,因此解决实际问题的建模过程非常重要2足
3、球比赛积分问题足球比赛积分由比赛规则决定,足球比赛结果分胜、平、输三种情况,一般地,胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分各类比赛规则不尽相同,因此,弄清比赛规则是正确列出方程的先决条件这类问题基本等量关系为:比赛总场数胜场数负场数平场数;比赛总积分胜场积分负场积分平场积分【例2】 足球比赛的记分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分一个队踢了14场,负了5场,共得19分,则这个队胜了()A3场B4场C5场 D6场解析:设这个队胜了x场,平了y场,根据题意,得解得则这个队胜了5场,平4场答案:C3列方程组解答生活中的百分比问题在生活中,我们时刻都在与经济打交道,经常面临利润问题、利息问题等解决这类问题,应熟记一些基本公式:(1)增长率问题增长率100%;计划量(1增长率)增长后的量;计划量(1减少率)减少后的量(2)经济类问题利息本金利率期数;本息和本金利息本金本金利率期数;税后利息本金利率期数(1利息税率);商品的利润商品的售价商品的进价;商品的利润率100%.析规律 确定实际问题中的相等关系先认真审题,找出问题中的已知量和未知量,再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系
4、,从而问题中的相等关系就会清晰地浮现出来【例3】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元由于今年总产值比去年增加15%,总支出比去年节约10%,因此,今年总产值比支出多950万元今年的总产值和总支出各是多少万元?分析:可列下表(去年总产值x万元,总支出y万元):总产值总支出差去年xy500今年(115%)x(110%)y950题中有两个相等关系:(1)去年的总产值去年的总支出500万元;(2)今年的总产值今年的总支出950万元解:设去年的总产值是x万元,去年的总支出是y万元,由题意,得解得所以(115%)x2 300,(110%)y1 350.故今年的总产值是2 300万元,总支出是1 350万元4.利用二元一次方程组解决信息题(1)表格信息题是指通过表格的形式以及一定的文字说明来提供问题情景的一类试题它的形式多样,取材广泛,条件清晰、明了有利于培养学生分析问题和解决问题的能力对图表型信息应用题,要善于从图表中挖掘信息,找到一些隐含信息,构建相应的数学模型,灵活应用所学知识来解决实际问题(2)情境信息题是通过图形中的文字表述或图中的人物对话获取信息,确定相等关系,列出方程组或通过观察图
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