-Unlicensed-第8节曲线与方程

第 8 节 曲线与方程 考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2.了解解析几何的基本思 想和利用坐标法研究曲线的简单性质； 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲 线的轨迹方程 . 知识梳理 1. 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一个二元方程f(x, y) = 0的实 数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2•求动点的轨迹方程的基本步骤 ［常用结论与微点提醒］ 1.“曲线C是方程f(x, y)二0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) =0的解”的充分不必要条件. 2•曲线的交点与方程组的关系： (1) 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组 的实数解； (2) 方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 诊断自测 ⑴f(xo, yo) = 0是点P(xo, yo)在曲线f(x, y)= 0上的充要条件.( ) ⑵方程x (老教材选修 2— 1P37A2 改编)已知 M( — 1, 0), N(1, 0), |PM| — |PN|= 2,则动 点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C. 一条射线 D.双曲线右支 解析 由于|PM|— |PN|= |MN|,所以A , B, D不正确，应为以N为端点，沿x轴 正向的一条射线• 答案 C (老教材选修2— 1P37A1改编)已知A(— 2, 0), B(1, 0)两点，动点P不在x轴 上，且满足/ APO=Z BPO,其中0为原点，则点P的轨迹方程是 . + xy= x的曲线是一个点和一条直线.() (3) 动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.() ⑷方程y= x与x= y2表示同一曲线.( ) 解析 对于(2),由方程得x(x+y- 1) = 0,即x= 0或x+ y—1= 0,所以方程表示 两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4),曲线 y=.x是曲线x= y2的一部分，错误. 答案 (1)2 (2) x (3) x ⑷ x 解析 由角的平分线性质定理得|PA|= 2|PB|,设P(x, y)，贝(x+ 2) 2+ y2 2 '' (x- 1) 2 + y2,整理得(x- 2)2 + y2= 4(yM 0). 答案 (x-2)2 + y2= 4(yM 0) 4. (2019广州调研)方程(2x+ 3y- 1)( . x- 3- 1) = 0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.—条直线和一条射线 2x+ 3y— 1 = 0, / 解析 原方程可化为 或“ x-3- 1= 0,即2x+ 3y- 1 = 0(x>3)或 x-3> 0 x = 4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案 D 1 1 5. (2020重庆一中月考)已知点F 4, 0，直线I: x=-4,点B是I上的动点，若 过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点 M，则点M的轨迹是 () A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 解析 由已知|MF|=|MB|，根据抛物线的定义知，点 M的轨迹是以点F为焦点， 直线I为准线的抛物线. 答案 6. (2020福州调研)已知点P在曲线2X2-y= 0上移动，则点A(0, - 1)与点P连线 的中点的轨迹方程是 . 解析 设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x, 2y+ 1),由点P在曲线上，得2 • (X)2 -(2y+ 1)= 0，即卩 y = 4x2-£ 1 答案 y= 4X2-- 考点一直接法求轨迹方程 【例1】(1)已知A(- 1，0)，B(1, 0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N， 若MN2= QanNB,则当 泾0时，动点M的轨迹为( ) A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 (2)(2020西安调研)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(- 1, 1)关于原点O对 1 称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积等于—勺•则动点P的轨迹方程为 解析 ⑴设 M(x, y)，贝U N(x, 0),所以 MN2 = y2, 届 NB=；(x+ 1, 0) • -(1k, y2 0)= X1 — X2)，所以y2= X1 — X2),即入x+ y2=人变形为x2 +七=1,所以当 X0 时，动点M的轨迹为双曲线. ⑵因为点B与点A(- 1, 1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1,- 1). y — 1 y+1 i 2 2 设点P的坐标为(x, y)，由题意得 =—3,化简得x2 + 3y2 = 4(x^ 土 1)故 x+ 1 x— 1 3 动点P的轨迹方程为x2 + 3y2= 4(xm ± 1.) 答案 (1)C (2)x2 + 3y2= 4(xm ± 1) 规律方法利用直接法求轨迹方程 (1) 利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简 • (2) 运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有 时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视 的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 • 【训练1】与y轴相切并与圆C： x2+ y2 — 6x= 0也外切的圆的圆心的轨迹方程为 解析 若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2 + y2 — 6x= 0外切的圆的圆心 为P(x，y)(x>0)，则半径长为xi，因为圆x2 + y2— 6x= 0的圆心为(3，0)，所以 -；(x— 3) 2+ y2= M + 3,则 y2= 12x(x>0)， 若动圆在y轴左侧，贝U y= 0,即圆心的轨迹方程为y2= 12x(x>0)或 y = 0(x<0). 答案 y2= 12x(x>0)或 y= 0(x<0) 典例迁移 考点二定义法求轨迹方程 【例2】(经典母题)已知圆M: (x+ 1)2 + y2= 1,圆N: (x— 1)2+ 卄9,动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 解 由已知得圆M的圆心为M(— 1, 0)，半径ri= 1；圆N的圆心为N(1, 0),半 径匕=3.设圆P的圆心为P(x, y)，半径为R. 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以 |PM|+ |PN|= (R+ ri) + (r2— R) = r 1 + r2 = 4> |MN|= 2. 由椭圆的定义可知，曲线 C是以M , N为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长 x2 y 为.3的椭圆(左顶点除外)，其方程为-+1二1&— 2). 【迁移1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P 与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为 . 解析 由已知得圆M的圆心为M(— 1, 0),半径1；圆N的圆心为N(1, 0), 半径r2 = 3.设圆P的圆心为P(x, y)，半径为R,因为圆P与圆M , N都外切，所 以 |PM|—|PN|= (R+ r1) — (R+ 匕)=3 — — 2，即 |PN|—|PM|= 2, 又 |MN|= 2, 所 以点P的轨迹方程为y = 0(x< — 2). 答案 y= 0(x<— 2) 【迁移2】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x= — 1相切，则圆 心P的轨迹方程为 . 解析 由于点P到定点N(1, 0)和定直线x=— 1的距离相等，所以根据抛物线的 定义可知，点P的轨迹是以N(1, 0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物 线，故其方程为y2= 4x. 答案 y2= 4x 规律方法定义法求曲线方程的两种策略 (1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线 定义出发建立关系式，从而求出方程. (2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型， 利用条件把待定系数求出来,使问题得解. 【训练2】(2020豫北名校联盟联考)已知△ ABC中，AB = 2,且sin A(1 — 2cos B) + sin B(1 — 2cos A) = 0,以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建 立平面直角坐标系，则动点 C的轨迹方程为 . 解析 在△ABC 中，由 sin A(1— 2cos B) + sin B(1 — 2cos A) = 0 得 sin A+ sin B = 2sin(A+ B) = 2sin C，由正弦定理得 号RC+ 第匚2^^I(R ABC外接圆半径)， 可得|CB|+ |CA|= 2|AB|> |AB|；.点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除 y轴上的 点)，其中 2a= 4，2c= 2，即卩 a=2，c= 1，二 b2= a2 — c2 = 3,故点 C 的轨迹方程 y2 x 为4 + x j— 1(xm 0). 答案； /2 x2 4 + 3 — 1仪工 0) 考点三 相关点(代入)法求轨迹方程 【例3】(1)(2020银川模拟)动点A在圆x2 + y2= 1上移动时，它与定点B(3，0) 连线的中点的轨迹方程是 . ⑵设F(1, 0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN = 2lMP，PM丄PF，当点P 在y轴上运动时，点N的轨迹方程为 . 解析(1)设中点M(x, y),由中点坐标公式，可得 A(2x— 3，2y),因为点A在圆 上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x — 3)2 + 4y2= 1. ⑵设 M(X0, 0), P(0, y0), N(x, y), PM 丄PF, PM =(X0,— y。), PF = (1，— y0), 所以(X0,— y0) - (1 — y0) = 0,所以 x°+ y0= 0.由MN = 2MP得(x— X0, y) = 2(— X0, x — X0 — — 2x0, y。)，所以 即 y—2yo, X0 —— x, 2 1 所以一x+ 4 — 0,即y2 — 4x.故所求点N的 y0—交, 轨迹方程是y2 — 4x. 答案 (1)(2x— 3)2+ 4y2— 1 (2)/ — 4x 规律方法“相关点法”的基本步骤 ⑴设点：设被动点坐标为(x, y),主动点坐标为(xo, yo). Xo= f (x, y), (2) 求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 yo= g(x, y). (3) 代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹 方程. 【训练3】(2020长沙月考)如图所示，动圆Ci： x2 + y2= t2, 1

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