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复化数值积分

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常见问题

1、复化数值积分由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。因此，实际计算中常用低阶复化梯形等积分公式。7.3.1 复化梯形积分把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间勺略1上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。复化梯形公式用若干个小梯形面积逼近积分比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所示。这种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。这也正是计算定积分最朴素的算法。图 7.4 复化梯形公式积分视图复化梯形积分计算公式对此圳作等距分割，有，可p+加= 0,1,卫，于是，则有记等分的复化梯形公式为（刀或只旳，有M-1T(h) = Tn(J)=h ”+工弘+询+尹的7.11)复化梯形公式截断误差比（jm的-迸V）由山z，根据均值定理，当时，存在，于是7.12)由此看到复化梯形公式的截断误差按照护或者/的速度下降，事实上，可以证明，只要了在 z 上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分心十曲。记心据如，则有I爲卜嘻胚对于

2、任给的误差控制小量 ,有或就有，式中卜表示取其最大整数。7.3.2 复化辛普森积分把积分区间分成偶数等分2枕，记丸=皿，其中+ 1是节点总数，欣是积分子区间的总数。血=匕 =记，廿直+和用，在每个区间忌，力+訂上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为W复化辛普森积分计算公式而Q）毎钦心-篡心，称鸟=琴了龟）+4 了為+1）+畑+2）7.13)为复化辛普森积分公式，它是在临，心+訂上采用辛普森积分公式叠加而得。下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取 = S,在2h每个积分区间上提出因子五后，三个节点的系数分别是1, 4, 1；将4个积分区间的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1，奇数点的系数是 4，偶数点的系数是 2。复化辛普森公式的截断误差设feCa,b，在也肿如上的误差为因此，7.14)与复化梯形公式类似，误差的截断误差按照胪或者产的速度下降。可以证明，只要了在他坊上有界并黎曼可积，当分点无限增多时,复化辛普森公式收敛到，则有对任给的误差控制小量，只要迟c/z就有2880s心)=(V必用复化梯形和复化辛普例7.5求，

3、计算中要求有5位有效数字。森求积公式的分点应取多少？解： /W =/八对=/4x) =*irwi=i/4)w io xi由复化梯形误差公式得到：肌力-W) 1片乎M厂占沁士叩计算出=673，复化梯形公式至少要在【.00等分n = 68。由复化辛普森误差公式，有5I耳占在复化辛普森公式中取复化积分的误差公式表明，截断误差随分点挖的增大而减小，对于给定的误差量用估计函数导数的界的方法可计算出。用误差公式计算满足精度的分点数, |严7.3.3 复化积分的自动控制误差算法上界的微积分习题（如例7.5所示）。但是在实际运像是在做一道计算导数算中，一般难以估计出函数的各阶导数界，也就无法确定分点数挖。在计算中常用误差的事后估计方法，即用估计误差。T2n（f ）的计算公式对定积分，取分点计算得取分点总=2，计算得这里，。可以看到，爲的值是爲与新增分点了氏的组合。取分点=4，计算得（了（兀）+ 了花）同理，计算爲C/）时只要在爲C/）的基础上计算新增分点了（兀）,5 的值再做组合,如图 7.6 所示。/（*z/U）E4/-.u几h“JFjfr一般地,每次总对前一次的小区间分半,分点加密一倍,并可充

4、分利用老分点上的函数值,每次只需计算新增分点的和。对上起等分,则有记丙用+上的中点为和则7.15)W）冷+比）其中或忌讨+虬爭9+3%）类似地，可得积分节点为，加的辛普森求积公式的关系式:抵=典（刀+右（化心）-比）7.16)其中：由误差公式：心）-爲=-三尹沪八（h-d）（hy厲）m-1 2m-1广=工八知，畑= FL$fc由于心肚Z，分别为“及加个点上的均值，可视八沪八叭于是上式表明兀(刀的误差大约是爲)误差的4倍。AJ)-爲冷血-石)7.17)由此得到启发，对任给的误差控制量厂，要lTC/)-(/)l，只需血C/) 一瞪区弘即可，而用|爲心)-兀|作为控制手段简单直接，序列瞪(力,爲力,在计算机上也不难实现。复化积分的算法描述从数值积分的误差公式可以看到，截断误差随分点兀的增长而减少，控制计算的精度也就是确定分点数兀。在计算中不用数值积分的误差公式确定分点数挖的理论模式，而用m-恥、fw-侄作为控制，通过增加分点自动满足精度的方法称为数值积分公式的自动积分法。即在计算中构造序列芯兀九，直到TTeT1 = T2H=Hn/计算新增节点的值M-l 比p歌）T2= （T1+

5、H ）/2H = h/2 ， n =2n / 将区间一分为二end while4输出积分值 T2。在自动控制误差算法中初始分点值不宜过小，以防假收敛7.3.4龙贝格（Romberg）积分尹emT由前面得到的关系式（7.17），可以将作为的修正值补充到力，即心）5 + ,抵（/）-兀（刀）=圮-扛 7（7.18）其结果是将梯形求积公式组合成辛普森求积公式，截断误差由提高到。这种手段称为外推算法。外推算法在不增加计算量的前题下提高了误差的精度，是计算方法中一种常用手法。不妨对沐（门用再做一次组合。由得到心八护-存= q（/）7.19)复化辛普森公式组成复化柯特斯公式，其截断误差是（涉）。同理对柯特斯公式进行组合：心）7飞得到具有7次代数精度和截断误差是时的龙贝格公式:垃=|%刀-存还可以继续对做上去。为了便于在计算机上实现龙贝格算法，将垃,统一用堆_）表示，列标 n分别表示梯形、辛普森、柯特斯积分，行标表示分点数沪廿或步长血W2巴。龙贝格计算公式：对每一个匕从2做到疋，一直做到小于给定控制精度停止计算。龙贝格算法龙贝格算法按表7.2元素的行序进行运算，尺m段丄足亠在计算中每个元素只用到上一行和本行的元素。对上面的算法进一步优化，对每k行可将计算定义在两行元素之间，令*2*2瓦宀卞、i ；在每计算一行元素后，要将札鸟j ,j = 1,2,，七表 7.2 龙贝格算法计算元素顺序表d込12,2Ab,1心22心31输入区间端点心上，精度控制值驾循环次数虫，定义函数了，取n = ,h = b - a2.3. for =2 to M2-1隔=+ 敢和 3 + -W)f 2 /hk +少far j = 2 la k傀厂堆w + （Aw -鬆心）用丹-1）汨弘-鬆41退出循坏

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