8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时） （精讲）（解析版）-教案课件习题试卷-高中数学人教版A版必修第二册

1、8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 利用直线与平面垂直证明线线平行题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用题型3：空间中的距离问题角度1：点面距角度2：线面距角度3：面面距题型4：直线与平面所成角探索性问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：直线与平面垂直的性质定理(定义)（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.（2）符合语言：，.（3）图形语言：（4）定理应用：线面垂直线线垂直.知识点2：直线与平面垂直的性质定理（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）符合语言：，（3）图形语言：（4）定理应用：垂直与平行的转换线面垂直线线平行作平行线知识点3：点面距、线面距、面面距（1）点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.图形语言：如图，线段的长度就是点到平面的距离.点面距的范围：.常用方法：等体积法（2）直线到平面的距离一条直线与一个平面

2、平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.图形语言：线段的长度就是直线到平面的距离.当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.（3）平面到平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.图形语言：线段的长度就是平面到平面的距离(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.二、重点题型分类研究题型1: 利用直线与平面垂直证明线线平行典型例题例题1（2022全国高二专题）若直线平面，直线平面，则直线与直线的位置关系为（）A异面B相交C平行D平行或异面【答案】C【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.故选：C.例题2（多选）（2022春河北邯郸高二大名县第一中学校考期末）已知，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；对D，垂直于同一平面

3、的两条直线平行，故D正确.故选：BC例题3（2023全国高三专题）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，现将，分别沿，折起，使，得到如图（2）所示的几何体，求证：【答案】证明见解析【详解】证明：在中，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，且，在中，所以，因为，平面，所以平面，在中，在中，则，因为，平面，所以平面，所以.例题4（2022春四川南充高二阆中中学校考阶段）已知空间几何体中，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(1)因为、是全等的正三角形，所以， 又因为，所以，故，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以；(2)分别取，中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面， 所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以同类题型演练1（2022四川高三统考对口高考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的命题是（）ABCD【答案】D【详解】如图，长方体中，对于，令平面

4、为平面，直线分别为直线m，n，显然有，而直线m，n相交，不正确；对于，令平面，平面分别为平面，直线为直线m，显然有，而平面与相交，不正确；对于，因，则，又，因此，正确；对于，因，则，又，因此，正确，所以正确命题的序号是.故选：D2（2023全国高三专题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC.证明：AEMN.【答案】证明见解析【详解】因为AB平面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，所以MN平面PCD，所以AEMN.3（2023全国高三专题）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AEPD于点E，l平面PCD求证：lAE【答案】证明见解析【详解】证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD又四边形ABCD是矩形，所以CDAD因为PAADA，PA

5、平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD又AE平面PAD，所以AEDC因为AEPD，PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AE平面PCD因为l平面PCD，所以lAE4（2022高一课时）如图，已知，于点A，于点B，求证：【答案】见解析【详解】证明：因为，所以，又因为，所以，又，平面，所以平面，因为，所以，又，所以平面，所以.题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直典型例题例题1（2023全国高三对口高考）如题图，正方体中，为棱上一点(1)试过点在平面上作直线，写出作法，并说明理由；(2)若为棱中点，是棱中点，求异面直线与所成角的大小【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）连接，在平面上过点P作交AD于Q，如图所示平面，则，又，则平面，而平面，所以.（2）连接，如图所示：由P、Q分别是和AD中点，得，则是异面直线PQ与所成角（或其补角），连接，在中，则，所以异面直线PQ与所成角的大小为例题2（2023秋北京顺义高二统考期末）如图，在三棱柱中，且，底面，为中点(1)求证：；(2)求证：平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）底面且平面，又且，平面，平面，

6、又平面，（2）取的中点，连接，因为分别为的中点可知，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面例题3（2023秋宁夏吴忠高三青铜峡市高级中学校考期末）如图所示，已知平面，分别是，的中点，(1)求证：平面；(2)求证：；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1），分别是，的中点，平面，且平面，平面；（2）平面，分别是，的中点，平面，平面，平面，.例题4（2023全国高三专题）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：取的中点，连接，因为与均为等边三角形，所以，又，所以平面，平面，所以.例题5（2023江西景德镇统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点在棱上，平面平面.(1)证明：；(2)若平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面平面，平面，；（2）解：连接交于点，连接，因为平面，平面平面，平面，所以，因为为的中点，则为的中点，因为，底面为平行四边形，所以，又，平面，所以平面，又平面

7、，所以，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，所以.同类题型演练1（2023全国高三校联考阶段）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，F是PD的中点，点在棱CD(1)求四棱锥PABCD的表面积；(2)求证：【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：已知平面，平面，而底面ABCD是矩形，则，又，平面，平面，平面ABP，同理可得，.（2）证明：平面，平面，又四边形是矩形，平面，平面，又，点F是的中点，而，平面，平面，2（2023全国高三专题）如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB/CD，ABBC，AB=2CD(1)求证：ABED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF/平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.（1）在四棱锥E-ABCD中，取AB中点O，连接EO，DO，如图，因EA=EB，则EOAB，而AB/CD，AB=2CD，则有BO/CD，BO=CD，即四边形OBCD是平行四边形，又ABBC，则四边形OBCD为矩形，即有ABDO，而，平面，因此AB平面EOD，又平面，所以ABED（2）点F满足，即F为EA中点时，有DF/平面BC

8、E， 取EB中点G，连接CG，FG，因F为EA中点，则FG/AB，又AB/CD，于是得FG/CD，FG=CD，即四边形CDFG是平行四边形，有DF/CG，又平面BCE，平面BCE，因此DF/平面BCE，所以存在点F使DF/平面BCE，.3（2023全国高三专题）在四棱锥中，底面，,，证明：.【答案】证明见解析【详解】证明：在四边形中，作，垂足分别为、，因为，所以四边形为等腰梯形，在等腰梯形中，则，又因为，则四边形为矩形，则，因为，所以，则，故，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又因为平面，所以.4（2023全国高三专题）如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点证明：.【答案】证明见解析【详解】证明：连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，且，又点在平面的射影为点，即平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以5（2023上海高二专题）如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥（1）求证：；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）取的中点，连，交于，连、，

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