高考数学一轮复习 第二章 第10课时 函数与方程 理

第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第第10课时函数与方程课时函数与方程1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系2根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解请注意1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件1函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标2函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 x轴零点3函数零点的判断如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有.那 么，函 数 y f(x)在 区 间_内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根4二分法的定义对于在a，b上连续不断，且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0(a，b)f(a)f(b)0零点一分为二5用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间a，b，验证，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；若，则x1就是函数的零点；若 ，则令bx1，(此时零点x0(a，x1)；若 ，则令ax1，(此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)f(a)f(b)0f(x1)0f(a)f(x1)0f(x1)f(b)01判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点(2)若函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.(3)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点(4)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实根答案(1)(2)(3)(4)2方程2xx23的实数解的个数为()A2B3C1 D4答案A解析构造函数y2x与y3x2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程2xx23的实数解的个数为2.故选A.答案C4下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析A，B图中零点两侧不异号，D图不连续故选C.5若在二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是_答案2例1(1)(2013天津理)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3 D4题型一题型一 零点的个数及求法零点的个数及求法【答案】B(2)函数f(x)xcos2x在区间0,2上的零点的个数为()A2B3C4 D5【答案】D探究1函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增又f(0)10，f(x)在区间(0,1)上存在一个零点【答案】1思考题思考题1题型二题型二 求零点所在区间求零点所在区间【答案】D探究2此类题的解法是将f(x)0，拆成f(x)g(x)h(x)0，画出h(x)与g(x)的图像，从而确定方程g(x)h(x)的根所在的区间设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)思考题思考题2【解析】函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图像交点的横坐标所在的范围作图如图所示：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)【答案】B题型三题型三 零点性质的应用零点性质的应用探究3已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，求实数a的取值范围【解析】函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图像有两个交点思考题思考题3当0a1时，图像如图所示，此时有两个交点实数a的取值范围为(1，)【答案】(1，)例4(1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_题型四题型四 二分法二分法【答案】(0,0.5)f(0.25)(2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_探究4利用二分法求近似解需注意的问题：(1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_思考题思考题4【答案】71函数零点的性质：(1)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(2)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点2函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号答案C答案B3(2015唐山一中模拟)设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A0,1 B1,2C2，1 D1,0答案D解析函数f(x)在区间a，b上有零点，需要f(x)在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.答案B5如果函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_二次函数的零点问题二次函数的零点问题例1若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，求实数a的取值范围例2m为何值时，f(x)x22mx3m4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比1大【解析】(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.【答案】(1)m4或m1(2)(5，1)【讲评】对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及到三个“二次问题”的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用