高考数学 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)直线的倾斜角直线的倾斜角定义定义:当直线当直线l与与x x轴相交时轴相交时,我们取我们取x x轴作为基准轴作为基准,x,x轴轴_与直线与直线l_方向之间所成的角方向之间所成的角叫做直线叫做直线l的倾斜角的倾斜角;规定规定:当直线当直线l与与x x轴平行或重合时轴平行或重合时,规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为_;_;范围范围:直线的倾斜角直线的倾斜角的取值范围是的取值范围是_._.正向正向向上向上0 00,)0,)(2)(2)直线的斜率直线的斜率定义定义:若直线的倾斜角若直线的倾斜角不是不是90,90,则其斜率则其斜率k=_;k=_;计算公式计算公式:若由若由A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)确定的直线不垂直于确定的直线不垂直于x x轴轴,则则k=k=_._.tantan(3)(3)两直线的平行、垂直与其斜率的关系两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件条件两直线位置关系两直线位置关系斜率的关系斜率的关系两条不重合的两条不重合的直线直线l1 1,l2 2,斜率斜率分别为分别为k k1 1,k,k2 2平行平行_k k1 1与与k k2 2都不存在都不存在垂直垂直_k k1 1与与k k2 2一个为零、一个为零、另一个不存在另一个不存在k k1 1=k=k2 2k k1 1k k2 2=-1=-1(4)(4)直线方程的五种形式直线方程的五种形式名称名称已知条件已知条件方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式斜率斜率k k与点与点(x(x1 1,y,y1 1)_不含直线不含直线x=xx=x1 1斜截式斜截式斜率斜率k k与直线在与直线在y y轴轴上的截距上的截距b b_不含垂直于不含垂直于x x轴轴的直线的直线两点式两点式两点两点(x(x1 1,y,y1 1),),(x(x2 2,y,y2 2)_ _ 不含直线不含直线x=xx=x1 1(x(x1 1=x=x2 2)和直和直线线y=yy=y1 1(y(y1 1=y=y2 2)y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1)y=kx+by=kx+b名称名称已知条件已知条件方程方程适用范围适用范围截距式截距式直线在直线在x x轴、轴、y y轴上的截距轴上的截距分别为分别为a,ba,b_不含垂直于坐标轴不含垂直于坐标轴和过原点的直线和过原点的直线一般式一般式_平面直角坐标系内平面直角坐标系内的直线都适用的直线都适用Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A2 2+B+B2 20)0)2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)过过P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)的直线方程的直线方程若若x x1 1=x=x2 2,且且y y1 1yy2 2时时,直线垂直于直线垂直于x x轴轴,方程为方程为_;_;若若x x1 1xx2 2,且且y y1 1=y=y2 2时时,直线垂直于直线垂直于y y轴轴,方程为方程为_;_;若若x x1 1=x=x2 2=0,=0,且且y y1 1yy2 2时时,直线即为直线即为y y轴轴,方程为方程为_;_;若若x x1 1xx2 2,且且y y1 1=y=y2 2=0=0时时,直线即为直线即为x x轴轴,方程为方程为_._.x=xx=x1 1y=yy=y1 1x=0 x=0y=0y=0(2)(2)直线系方程直线系方程与直线与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直线系方程是平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mRAx+By+m=0(mR且且mC).mC).与直线与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).Bx-Ay+m=0(mR).3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法:直接法、待定系数法直接法、待定系数法.(2)(2)数学思想数学思想:数形结合、分类讨论、转化与化归数形结合、分类讨论、转化与化归.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:已知两点求斜率已知两点求斜率已知两点求斜率已知两点求斜率,横纵坐标分求差横纵坐标分求差.纵标差比横标差纵标差比横标差,直线斜率就是它直线斜率就是它.横坐标差若为零横坐标差若为零,没有斜率不要怕没有斜率不要怕.倾斜角和斜率倾斜角和斜率直线倾斜角斜率直线倾斜角斜率,概念不同有关联概念不同有关联.倾角非直正切值倾角非直正切值,直线斜率直线斜率k k出现出现.两条直线平行两条直线平行不重合的平行线不重合的平行线,倾斜角等是必然倾斜角等是必然.倾斜角皆非直角倾斜角皆非直角,斜率相等亦出现斜率相等亦出现.两条直线垂直两条直线垂直直线垂直看斜率直线垂直看斜率,积负倒数必垂直积负倒数必垂直.斜率为零不存在斜率为零不存在,两条直线亦垂直两条直线亦垂直.【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(.()(2)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(.()(3)(3)当直线当直线l1 1和和l2 2斜率都存在时斜率都存在时,若若k k1 1=k=k2 2,则则l1 1l2 2.(.()(4)(4)在平面直角坐标系下在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程任何直线都有点斜式方程.(.()(5)(5)任何直线方程都能写成一般形式任何直线方程都能写成一般形式.(.()【解析】【解析】(1)(1)正确正确.直线的倾斜角仅反映直线相对于直线的倾斜角仅反映直线相对于x x轴的倾斜程度轴的倾斜程度,不不能确定直线的位置能确定直线的位置.(2)(2)错误错误.当直线的倾斜角为当直线的倾斜角为9090时时,其斜率不存在其斜率不存在.(3)(3)错误错误.当当k k1 1=k=k2 2时时,两直线可能平行两直线可能平行,也可能重合也可能重合.(4)(4)错误错误.当直线与当直线与x x轴垂直轴垂直(斜率不存在斜率不存在)时时,不能用点斜式方程表示不能用点斜式方程表示.(5)(5)正确正确.无论依据哪种形式求解无论依据哪种形式求解,最后直线方程都能写成一般形式最后直线方程都能写成一般形式.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练(1)(1)(必修必修2P892P89练习练习T2T2改编改编)若过点若过点A(m,4)A(m,4)与点与点B(1B(1，m)m)的直线与直线的直线与直线x-2y+4=0 x-2y+4=0平行，则平行，则m m的值为的值为_._.【解析】【解析】因为直线因为直线x-2y+4=0 x-2y+4=0的斜率等于的斜率等于 所以过点所以过点A(m,4)A(m,4)和点和点B(1B(1，m)m)的直线的斜率也是的直线的斜率也是 解得解得m=3.m=3.答案：答案：3 3(2)(2)(必修必修2P100T52P100T5改编改编)一条直线经过点一条直线经过点A(2,-3),A(2,-3),并且它的斜率等于并且它的斜率等于直线直线x+y=0 x+y=0的斜率的的斜率的2 2倍，则这条直线的方程为倍，则这条直线的方程为_._.【解析】【解析】由由x+y=0,x+y=0,得得y=-x,y=-x,故所求直线的斜率故所求直线的斜率 又该又该直线过点直线过点A(2,-3),A(2,-3),所以这条直线的方程为所以这条直线的方程为y-(-3)=(x-2),y-(-3)=(x-2),整理整理得得答案：答案：3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014福建高考福建高考)已知直线已知直线l过圆过圆x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4的圆心的圆心,且与直线且与直线x+y+1=0 x+y+1=0垂直垂直,则则l的方程是的方程是()A.x+y-2=0A.x+y-2=0B.x-y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0D.x-y+3=0【解析】【解析】选选D.D.圆圆x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4的圆心为的圆心为(0,3).(0,3).直线直线x+y+1=0 x+y+1=0的斜率为的斜率为-1,-1,且直线且直线l与该直线垂直与该直线垂直,故直线故直线l的斜率为的斜率为1.1.即直线即直线l是过点是过点(0,3),(0,3),斜率斜率为为1 1的直线的直线,用点斜式表示为用点斜式表示为y-3=x,y-3=x,即即x-y+3=0.x-y+3=0.(2)(2015(2)(2015济南模拟济南模拟)已知两条直线已知两条直线y=ax-2y=ax-2和和3x-(a+2)y+1=03x-(a+2)y+1=0互相平互相平行，则行，则a a等于等于()()A.1A.1或或-3 B.-1-3 B.-1或或3 C.13 C.1或或3 D.-13 D.-1或或-3-3【解析】【解析】选选A.A.由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平行，所以行，所以 所以所以a a等于等于1 1或或-3.-3.(3)(2013(3)(2013辽宁高考辽宁高考)已知点已知点O(0,0)O(0,0)，A(0,b)A(0,b)，B(a,aB(a,a3 3).).若若OABOAB为为直角三角形，则必有直角三角形，则必有()()A.b=aA.b=a3 3 B.b=a B.b=a3 3+C.(b-aC.(b-a3 3)(b-a)(b-a3 3-)=0 D.|b-a-)=0 D.|b-a3 3|+|b-a|+|b-a3 3-|=0-|=0【解析】【解析】选选C.C.根据直角三角形的直角的位置求解根据直角三角形的直角的位置求解.若以若以O O为直角三角形顶点，则为直角三角形顶点，则B B在在x x轴上，则轴上，则a a必为必为0 0，此时此时O O，B B重合，不合题意重合，不合题意.若若A=,A=,则则b=ab=a3 30,0,则则B=B=，根据斜率关系可知，根据斜率关系可知a a2 2 =-1,=-1,所以所以a(aa(a3 3-b)=-1,-b)=-1,即即b-ab-a3 3-=0,-=0,以上两种情况皆有可能，故只有以上两种情况皆有可能，故只有C C满足条件满足条件.(4)(2015(4)(2015南昌模拟南昌模拟)已知长方形已知长方形ABCDABCD的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2)A(0,1),B(1,0),C(3,2)，求第四个顶点，求第四个顶点D D的坐标为的坐标为_._.【解析】【解析】设第四个顶点设第四个顶点D D的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),因为因为ADCD,ADBC,ADCD,ADBC,所以所以k kADADkkCDCD=-1=-1，且，且k kADAD=k=kBCBC.所以所以解得解得所以所以,第四个顶点第四个顶点D D的坐标为的坐标为(2,3).(2,3).答案：答案：(2,3)(2,3)考点考点1 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率【典例【典例1 1】(1)(1)直线直线xcos+y+2=0 xcos+y+2=0的倾斜角的范围是的倾斜角的范围是()()(2)(2015(2)(2015苏州模拟苏州模拟)若直线若直线l过点过点P(-1,2),P(-1,2),且与以且与以A(-2,-3),B(3,0)A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交为端点的线段相交,则直线则直线l的斜率的取值范围是的斜率的取值范围是.【解题提示】【解题提示】(1)(1)先求出直线的斜率先求出直线的斜率,再求倾斜角的取值范围再求倾斜角的取值范围.(2)(2)先确定直线先确定直线