内蒙古自治区赤峰市牛古吐中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

内蒙古自治区赤峰市牛古吐中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，则关于x的方程有三5个不同实数 根，则等于 C. 5　　　　　　　　　　　　　　　　 　　D. 13 参考答案： C  【知识点】分段函数的应用．B10 解析：∵方程有3个实数根，=k有解时总会有2个根， 所以必含有1这个根，令=1，解得x=2或x=0，所以x12+x22+x32=02+12+22=5． 故选C． 【思路点拨】根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得． 2. 焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（   ） A．              B．               C．            D． 参考答案： D 试题分析：由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D. 考点：双曲线几何性质． 3. 已知 ，则函数 在区间(1，2)上存在一个零点的概率为   (A)            (B)               (C)              (D) 参考答案： C  略 4. 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差 数列，则的值为（    ） A．      B．      C．      D．或 参考答案： C 5. 如图所示，程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数（    ） A．的图象上      B．的图象上  C．的图象上        D．的图象上 参考答案： D 6. 在等差数列中，，则此数列的前6项和为（     ） （A）               （B）               （C）            （D）  参考答案： D 7. 如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　） A．命题p一定是真命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q可以是真命题也可以是假命题 D．命题q一定是假命题 参考答案： C “非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题． 8. 若将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，则平移后函数的一个零点是（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件根据诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣） 令2x﹣=（k∈Z） 解得：x=（k∈Z）， ∴函数的对称点为（，0） 当k=1时，可得一个零点是（，0） 故选：A． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，比较基础． 9. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于0且小于1的概率是（    ）． A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据对数的限制条件，列出所有对数的基本事件，确定出满足条件的对数个数，由古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数， 共得到4个对数，其值均为0． 从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数， 基本事件为，，，，，， ，，，，，，共12个， 所以基本事件总数为16个，满足题设条件的事件有， ，，，，，共6个， 由古典概型的计算公式得所求事件的概率． 故选：C． 【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题. 10. 已知是虚数单位，则（     ） (A)        (B)        (C)       (D) 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，若对，，， 则实数的取值范围是        ． 参考答案： 12. 若函数的定义域是R, 则的取值范围是　　　　　　 参考答案： 略 13. 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是        . 参考答案： 或。 函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或。   14. 在中，已知,则的最大角的大小为__________ 参考答案： 15. 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是           ；A，B两点的球面距离为         . 参考答案： 答案：1 ，  16. 在复平面上，复数对应的点到原点的距离为        ． 参考答案： 17. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数， 且它的值域为(－∞,2]，则该函数的解析式f(x)＝________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且. （1）求角C的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值. 参考答案： 解：（1）由，结合正弦定理得， 所以，即， 因为，所以； （2）因为，， 所以由余弦定理可得：， 因为△ABC的面积为，解得， 所以，解得.   19. 已知函数f（x）＝|4x－1|－|x＋2|． （1）解不等式f（x）＜8； （2）若关于x的不等式f（x）＋5|x＋2|＜a2－8a的解集不是空集，求a的取值范围． 参考答案： （1）由题意可得， 当x≤－2时，－3x＋3＜8，得，无解； 当时，－5x－1＜8，得，即； 当时，3x－3＜8，得，即． 所以不等式的解集为． （2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9， 则由题可得a2－8a＞9， 解得a＜－1或a＞9． 20. 已知函数. （1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点. （2）若函数在区间上不单调，证明：. 参考答案： （1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析 【分析】 （1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点. （2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立. 【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间； 由解得为减区间. 下面证明函数只有一个零点： ∵，所以函数在区间内有零点， ∵，函数在区间上没有零点， 故函数只有一个零点. （2）证明：函数，则 当时，，不符合题意； 当时，令， 则，所以在上单调增函数，而， 又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以， 且，即 两边取自然对数，得即， 要证，即证， 先证明：，令，则 ∴在上单调递增，即，∴① 在①中令，∴ 令∴，即 即，∴. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔小时抽一包产品， 称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如下图所示. （1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的平均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定； （2）若从乙车间件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过克的概率. 参考答案： （2）从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:   略 22. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)求的单调区间. 参考答案： (1)因为，，所以切线方程为即 （2） 当时， 所以在区间上，在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，可得. 所以，在区间和上，在区间上 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，，故故的单调递增区间是 当时，由得 所以在区间和上，在区间上 故的单调递增区间是和，单调递减区间是.