高等数学李伟版课后习题答案第五章

高等数学李伟版课后习题答案第五章习题5 1(A)1.判断下列叙述是否正确？并说明理由：(1)如果函数f(x)仅在区间 a,b 上有界，它在 a,b 上未必可积，要使其可积，它在 a,b 上必须连续；baba(2)如果积分 存在，那 么 f(x)dx(a b)f(x)dx limf(aban(3)性 质 5 也常称为积分不等式，利用它(包括推论)结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；(4)定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”f()还是被积函数在积分区间上的平均值.答：(1)前者正确.如狄利克雷函数D(x)1,x Q,0,x Q在区间 a,b(其中b a)上有界，但是它在区间 a,b 上不可积，事实上：将 a,b 任意分成n 个小区间 xil,xi(其中 x0 a,xn b)记第i 个 小 区间长度为x i,先在 xil,xi 上取(i 1,2,n),i 为有理数，则 limD(0 xi lim0b a,再在 Gil,xi 上 取 i 为无理数,则 lim0D(i 0i)xi lim00 xi 0对 于 i 的不同取法黎曼和的极限不同，所以D(x)0,在区间 a,b 上不可积；后者不正确，参见定理1.2.(2)正确.事实上：由于f(x)在区间 a,b 上可积，则对 a,b 的任意分法，i 的任意取法，都有banf(x)dx limban0i 1f(i)x i,现在对 a,b 区间n 等分，i 去在小区间的ban右分点，贝 lj i ai,xin,并且 0 等价于n,所以nbaf(x)dx lim0i 1f(i)xi limni 1f(aban)ban(3)正确.它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等.(4)正确.它可以起到去掉积分号的作用baf(x)dx f()(ba)；也可以用来表示连续函数在区间 a,b 上的平均值Ibabaf(x)dx f()，但是由于 位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算Ibabaf(x)dx.2.自由落体下落的速度v g t,用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程sbav(t)dt,所以 s100gtdt.3.一物体在力F F(x)作用下，沿 x 轴 从 x a 点移动到x b 点，用定积分表示力F(x)所做的功W.解：将位移区间 a,b 任意分成n 个小区间偏1,xi(i 1,(其中2,n),x0 a,xn b)记第i 个 小 区间长度为x i,在 xil,xi 上 任 取 一 点 i,用 F(i)近似代替物体从X x il移动到X Xi时所受的力，则物体从X Gil移动到X x i时所做的功nni近 似 为 Wi F(i)x i,于是WnWi 1F(i 1记 m)xi,xanxii 1,2,n,则 W lim0F(i 1i)xi F(x)dx(假定极限 limab0F(i 1)x i存在).4.用定积分的几何意义求下列积分值：(1)aaaxdx；(2)22221xdx.解：(1)如图，上半圆的面积A a/2,根据定积分几何意义 所以，aa22aaaxdx A,22axdx a2/2.(2)如图，面积 Al 4/2 2,A2 1/2,根据定积分几何意义 所以，2121xdx A1A2 3/2,xdx 3/2.5.若函数y f(x)在区间ia间上连续，用定积分的几何意义说明:(1)当 f(x)为奇函数时，(2)aaaaf(x)d x 0；f(x)d x 2a O当 f(x)为偶函数时，f(x)d x.解：(1)如 图 1,当 f(x)是奇函数时，由对称性，面积A l A 2,根据定积分几何意义，a aR x)d x A 1 A 2 0.(2)如图2,当 f(x)是偶函数时，由对称性，面积A l A 2,根据定积分几何意义，6.比较卜列各组定积分的大小：(1)I Ia af(x)d x A 1 A 2 2 A 1 2a Of(x)d x.1 0 x d x 与 1 221 0 x d x；(2)I l31 02 1x d x 与 1 22 13x d x；(3)I l2 0s i n x d x 与 1 12 0s i n3(4)1 1 x d x；1 05 3I n x d x 与 1 25 3(I n x)d x.2解：(1)因为在区间 0,1 上x 2 x 3,所以(2)因为在区间 1,2 x3x d x22x d x,即 I I 1 2.2 1 33x,所以31x d xx d x,即 I I 1 2.(3)因为在区间 0,/2 s i n x s i n所 以x,52 0s i n x d x5 32 0s i n23即 H 12.xdx,2(4)因为在区间 3,5 Jt Inx(Inx),所以 Inxdx3(Inx)dx,即 11 12.7.估计下列定积分的值：(1)I(3)I2 021(2sinx)dx；(2)Ixdx；(4)I1020arctanxdx；2lx2(x2x3)dx.解：(1)设 f(x)2sinx,在区间 0,2 上显然有 1 f(x)3,又 f(3/2)1,f(/2)3,于是函数f(x)在区间 0,2 上的最小值为m 1,最大值M 3,而区间长度ba 2,根据m(ba)baf(x)dx M(ba),得 2 1 6.(2)设 f(x)arctanx,由于函数f(x)在区间 0,1 上单调增加，于是f(x)在区间 0,1 上的最小值为m f(0)0,最大值M f(l)/4,而区间长度6a 1,根据m(ba)baf(x)dx M(ba),得 0 I/4.lx22(3)设 f(x)xlx2，则 f(x)(lx)2，在区间 1,2 f (x)0,于是函数f(x)在区间口，2 上单调减少，所 以 f(x)在区间 1,2 上的最小值为m f(2)5/2,最大值M f(l)1/2,而区间长度 ba 1,根据 m(b a)得 2/5 I 1/2.(4)设 f(x)x22x3,则 f(x)2 x 2,有“f(x)0,在区间(0,2)(2)edx1X10(lx)dx.证明：(1)在区间 0,/4 上显然有sinx co sx,所以40sinxdx40cosxdx.xx(2)设 f(x)e l x,在区间 0,1 上，f(x)el 0,于是函数f(x)在区间 0,1 上单调增加，从而f(x)出 0)0,即在区间 0,1 上 ex l x,所以10edxx10(lx)dx.习题5 1(B)1.右图给出了做直线运动的某质点在0 到 9 s 代数和，即v(t)dt 108 2(单位)；09质点在。到 9 s内所实际走的路程为阴影面积的和，即 v(t)dt 108 18(单位)92.用定积分中值定理求下列极限：(1)lim(2)limn82x2 x xx；l xn l nnx ar c t an x.8 2解：（1）由定积分中值定理,8 2xnn2 x xx6 nnn2 n n l im（其中2 n 8）,于是6l imnxnn2 x xx l im6 n 2nnnnnn2 1/n l n3.（2）由定积分中值定理，n l nx ar c t anl xXnarctan1n(其中 n n nl),由n n p l,有 n 等 价 于 n.,于是limnnlnxarctanlxx lim narctann.1nlim nn.1n1.a b)3.若函数f(x),g(x)在区间a,b(上连续,f(x)g(x),且 f(x)不恒等于g(x),证明baf(x)dxbag(x)dx.证明：设 F(x)g(x)f(x),由题目条件知，在区间a,b上函数F(x)连续且F(x)0 又不恒等于零，于是有xO a,b ,使得F(xO)0,由连续函数的性质，.0,在区间xO,xO a,b(1)2e1222f(x)dxbag(x)dx.02exx2dx 2e121/4(2)1xdxxxx2n(其中n 是正整数).证明：(1)设 f(x)ex,则 f(x)(2x1)e2x，由 f(x)0,在区间(0,2)内得驻点 x 1 又 f(0)l,f(l/2)el/4,f(2)e2,于是函数f(x)在区间 0,2 的最小值为m el/4,最大值为M e 2,从而2el/4 20eXX2因 为 dx 2e,202exx2dx20exx2d x,所以2ex2202exx2dx 2e1/4x 2XXn(2)在区间 0,1 上显然有x x1 0nx,且等号不恒成立，而函数、X 都连续，根据本节习题(B)3,有1 2x 21 0dx1 0 x dx x1 0 x dx,而由定积分的几何意 义 得 x dx11 0 x 2dx1 2x dx1 2 2,所以2 21 0 x dx xn1 2习题5 2(A)1.判断下列叙述是否正确？并说明理由：(1)在 定 理 2.1 的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；(2)若 f(x)连续、则F(x)(x)可导，(x)f(t)dt 的导数等于被积函数在上限处的值；(3)在 f(x)连续、(x)及(x)可导时，通过将F(x)(x)(X)R t)dt 化成两个变上限定积分，可求得 F (x)f(x)(x)f(x)(x)；(4)使用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量.答：(1)正确.定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时.(2)不 正 确.应 该 是 F (x)fl (x)(x),即被积函数在上限处的值与上限处函数(x)的导数之积.(3)正确.将函数F(x)改写为F(x)(4)正确.这就是牛顿-莱布尼兹公式(x)abf(x)dx(x)af(x)dx,再 根 据(2)求导.af(x)dx F F(a)(其中 F(x)是 R x)在区 间 b 上的一个原函数)，但是要注意被积函数的连续性，对分段函数(或分区间连续函 数)要 分 区 间 求.2.计算下列定积分：(1)(3 x 4 2 x 2 l)dx ；(2)(x a)(x a)dx ；l a(3)(5)9 4x(l4l x)dx；(4)2 3l l xX；2 1x lX；Xl x 3 xx；3 1/3dx l x2(7)(9)1 01 2 0dx xt an22(6)3(8)2(1 2 s in x)dx；4 03 0 x dx(1 1)2 0dx l s in x22 0(1 0)(1 2)c o s x x；(1 3)x 2 x l dx；42ex,x 1,f(x)dx,其中 f(x)(1 4)x 1.4解：(1)(3 x 2 x 1 )dx x1342 325x x O3 11 5a3(2)(x a)(x a)dx0 9 4aaO(x a)dx2x3a3 2 3 xa339a32 a32(3)(4)(5)(6)(7)x(ll l x4l x)dx94(xlx)dx 3/2,2x4 2428344323x Inx2101n2 ln2.21xlx 3x3(xlx)dx 33x2212x212178198dx31/lx2arctanx1/3366110lx3xx 213arctanx31/2012ln(3x)036312ln412ln36312In341(8)(9)20dxx2arcsinx606(12sinx)dx.2cosx.2(11)4.(10)30tan2xdx30(sec2x l)dx tanx/3330333(11)40dxlsinx2040(Isinx)dxcos2x2tanxsecxO/4121 2.(12)(13)cosxxcosxdx20cosxdx sinx10/2sinx21/210(01)2.20 x2xldx2xlx(ix)2121(lx)dx(xl)221(x)dx121.2010121212(14)f(x)dxcdxxxdx exlOx2212el 21