高数一 1-6 闭区间上连续函数的性质

上页下页铃结束返回首页一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质1上页下页铃结束返回首页v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0 一、有界性与最大值最小值定理2上页下页铃结束返回首页 函数y=sgn x 在区间(-+)内有最大值1和最小值-1 但在开区间(0+)内 它的最大值和最小值都是1 最大值与最小值举例:一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)3上页下页铃结束返回首页 并非任何函数都有最大值和最小值 例如，函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 应注意的问题:一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x0I 使得对于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)4上页下页铃结束返回首页说明:v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一点x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么5上页下页铃结束返回首页应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值 v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 6上页下页铃结束返回首页 又如 如下函数在闭区间0 2内既无最大值又无最小值 应注意的问题:如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 7上页下页铃结束返回首页v定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间a b上连续 根据定理1 存在f(x)在区间a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b满足mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界 v定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 8上页下页铃结束返回首页注:如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0二、零点定理与介值定理9上页下页铃结束返回首页 例1 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x 二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=010上页下页铃结束返回首页v定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=011上页下页铃结束返回首页二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值v定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C v定理5 单调、连续函数的反函数也是单调、连续的 12上页下页铃结束返回首页作业1.613