高数一 1-1 函数

上页下页铃结束返回首页一、复合函数二、初等函数 三、杂例初等函数1上页下页铃结束返回首页 例1 解 于是 所求定义域为 一、复合函数2上页下页铃结束返回首页 函数 yf g(x)称为由函数 yf(u)和函数 ug(x)构成的复合函数,变量 u 称为中间变量.v复合函数 注:1.g 与 f 能构成复合函数的条件是:RgDf.否则,不能构成复合函数.2.g(x)Df 的解集为 f g(x)的自然定义域.3.函数 y f g(x)也记为 y f g(x).例2 解 3上页下页铃结束返回首页解 例3 分解下列复合函数:(1)(2)(3)4上页下页铃结束返回首页v基本初等函数 幂函数:yx (R 是常数);指数函数:ya x(a0 且 a1);对数函数:yloga x(a0 且 a1),特别当 ae 时,记为 yln x;三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.二、初等函数5上页下页铃结束返回首页v初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数,称为初等函数.都是初等函数.例如,函数提问:y|x|是初等函数吗?提示:提问:幂指函数 y x sin x 是初等函数吗?提示:6上页下页铃结束返回首页v分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例5 取整函数 y x:表示不超过 x 的最大整数.例4 符号函数注:符号函数与取整函数都不是初等函数.(由初等函数的连续性得知)7上页下页铃结束返回首页 例6 此函数的定义域为 D0,1(1,+)0,+).提问:以上函数是初等函数吗?提示:2y=f(x)+g(x),其中8上页下页铃结束返回首页解 例7 三、杂例9上页下页铃结束返回首页 例8 判断 解 的奇偶性.为奇函数 10上页下页铃结束返回首页 例9 解一 解二 提问:11上页下页铃结束返回首页 例10 证明函数 f(x)x sin x 在0,+)上无界.分析:证明:如果存在正数 M,使对任一 xX,有|f(x)|M,则称函数 f(x)在 X 上有界.如果对任一正数 M,总存在 x0X,使|f(x0)|M,则称函数 f(x)在 X 上无界.12上页下页铃结束返回首页解 例11 分析:13上页下页铃结束返回首页作业1.114