高数一 1-4 无穷小与无穷大

上页下页铃结束返回首页一、无穷小二、无穷大无穷小与无穷大三、无穷小的比较1上页下页铃结束返回首页 例1v无穷小的定义一、无穷小 注:2上页下页铃结束返回首页v定理1(无穷小与函数极限的关系)提示:f(x)=A+f(x)A,=f(x)A.注:v定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例如,3上页下页铃结束返回首页 如果当 xx0 时|f(x)|无限增大 那么称函数 f(x)为当 xx0 时的无穷大 记为 v无穷大的定义二、无穷大(形式记法,实际上极限不存在)v无穷大的精确定义M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M 正无穷大与负无穷大 M0 d 0 当0|xx0|d 时有f(x)M M0d 0当0|xx0|d 时有f(x)k 时,h 比 k 趋于零的“速度”快些.v无穷小的阶 设 及 b 为同一极限过程中的无穷小 如果 就说 b 是关于 的 k 阶无穷小.自变量的变化过程 xx0(x0,),n统称极限过程.阶数越大,趋于零的 “速度”越快.13上页下页铃结束返回首页所以当 x3 时 x29 是关于 x3 的一阶无穷小 例7 例8 所以当 x0 时 1cos x 是关于 x 的二阶无穷小 v无穷小的阶 设 及 b 为同一极限过程中的无穷小 如果 就说 b 是关于 的 k 阶无穷小.阶数越大,趋于零的 “速度”越快.14上页下页铃结束返回首页当 xa 时|x a|k(k0)是关于|x a|的 k 阶无穷小,b c|x a|h(c 0,h0)是关于|x a|的 h 阶无穷小.v无穷小阶的比较 设 及 b 为同一极限过程中的无穷小.15上页下页铃结束返回首页v等价无穷小 设 及 b 为同一极限过程中的无穷小 如果 就说 b 与 等价,记为 b .例9 当 x0 时,16上页下页铃结束返回首页 证明 v等价无穷小代换定理 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 定理的意义:17上页下页铃结束返回首页 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 当x0时sin xx 无穷小x33x与它本身显然是等价的 所以 例10 例11 18上页下页铃结束返回首页v常用等价无穷小 设(x)0,则有(4)的推导:令 u (x)则(5)的推导:令 u exp(x)1 则(x)ln(1 u),当(x)0 时,u 0 于是 u ln(1 u)即 e 1 .(6)的推导:19上页下页铃结束返回首页例12解v常用等价无穷小 设(x)0,则有20上页下页铃结束返回首页作业1.421