中职教育概率论第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布 一、随机变量一、随机变量 二、二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 三、三、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布第一节 第二章 随机变量随机变量概念的产生随机变量概念的产生引入随机变量的意义引入随机变量的意义随机变量的分类随机变量的分类1 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员正如裁判员在运动场上在运动场上不叫运动员不叫运动员的的名字名字名字名字而叫而叫号码号码号码号码一样，一样，二者建立了二者建立了一种对应关一种对应关系系.这种对应关系数学上理解为定义了一种实值单值函数这种对应关系数学上理解为定义了一种实值单值函数.e e.X X(e)(e)R R定义定义1.1.设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间在样本在样本上的实值单值函数，上的实值单值函数，称称是定义是定义为为随机变量随机变量。随机变量的定义随机变量的定义(简记为简记为 r.v.)把把样本点发生的概率转化为随机变量取得某个数字的概样本点发生的概率转化为随机变量取得某个数字的概率率，一般，一般事件发生的概率转化为数字集合的概率。事件发生的概率转化为数字集合的概率。样本点样本点数字数字随机变量定义在样本空间随机变量定义在样本空间 S 上上,定义域可以是数也可定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2.随机变量函数的取值在试验之前无法确定随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定有一定的概率；而普通函数却没有。的概率；而普通函数却没有。随机变量函数和普通函数的区别随机变量函数和普通函数的区别1.定义域不同定义域不同 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量二、常用的离散型随机变量第二节 从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是是一个一个随机变量随机变量.(1)X 可能取的值是可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为取每个值的概率为:看一个例子看一个例子一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义定义定义1：某些随机变量：某些随机变量X的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多个或可列无限多个个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机这种随机变量称为离散型随机变量变量.其中其中 (k=1,2,)满足满足：k=1,2,（1）（2）定定义义2：设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取的一切可能值，称取的一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,a0,从中解得从中解得即即例例2 2设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法（1）公式法公式法（2）列表法列表法X例例1 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取值为可取值为0,1,2;PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18 PX=2=(0.9)(0.9)=0.81常常表示为：常常表示为：X这就是这就是X的分布律的分布律.(01)分布分布定义定义1.1.如果随机变量如果随机变量的分布律为的分布律为则称则称服从参数为服从参数为的的(01)分布分布。即即或或二、常用的离散型随机变量及其分布二、常用的离散型随机变量及其分布（01）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成 1.伯努利伯努利概型概型（概率论中最早研究的模型之一，也是（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）它推导）n重独立试验重独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。.二项分布二项分布二项分布二项分布“重复重复”是指这是指这n次试验中次试验中P(A)=p保持不变保持不变.“独立独立”是指各次试验的结果互不影响是指各次试验的结果互不影响.伯努利概型伯努利概型设随机试验设随机试验E只有只有两种可能结果，且两种可能结果，且将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验重伯努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”一般地，设在一次试验一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .这样的试验这样的试验E E称为称为伯努利试验伯努利试验 .2.二项分布二项分布引例：引例：某人打靶单发命中率为某人打靶单发命中率为现独立重复射现独立重复射击击3次，求恰好命中次，求恰好命中2发的概率。发的概率。解解表示表示“第第i次命中次命中”表示表示“恰好命中两次恰好命中两次”由此可得：由此可得：n重伯努利试验中重伯努利试验中,“事件事件恰好发生恰好发生k次次”,即即的概率为：的概率为：定义定义2.2.如果随机变量如果随机变量的分布律为的分布律为则称则称服从参数为服从参数为的的二项分二项分其中其中布布，记为，记为容易验证容易验证由二项式定理由二项式定理特别特别,当当时时,二项分布为二项分布为这就是（这就是（0-1）分布，常记为）分布，常记为表示所取的表示所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，于是所求概率为，于是所求概率为则则解：解：设设注注：若将本例中的若将本例中的“有放回有放回”改为改为“无放回无放回”，那，那么各么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，只能用次试验条件就不同了，不是伯努利概型，只能用古典概型求解古典概型求解.例例4 已知已知100100个产品中有个产品中有5 5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求所取个，求所取3 3个中恰有个中恰有2 2个次品的概率。个次品的概率。古典概型与伯努利概型不同，有何区别？古典概型与伯努利概型不同，有何区别？请思考：请思考：伯努利概型伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，对试验结果没有等可能的要求，（1 1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；（2 2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果 且且（3 3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.但有下述要求：但有下述要求：定理定理1（泊松泊松Poisson定理定理)设设是一常数，是一常数，n是是正整数，若正整数，若，则对任一固定的非负整数，则对任一固定的非负整数证明证明 由由得得对于任意固定的对于任意固定的故有故有定义定义1.设随机变量设随机变量所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,0,1,2,而而 且概率分布为：且概率分布为：.泊松分布泊松分布其中其中，则称，则称服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布，记，记注：注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当时，即为（时，即为（01）分布；当）分布；当时，时，二项分布近似于泊松分布。二项分布近似于泊松分布。泊松分布的图形特点泊松分布的图形特点：当当 n 很大，很大，p 很小时，很小时，泊松泊松定理表明：定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布，参数参数 =n p 的的泊松分布泊松分布二项分布就可近似看成是二项分布就可近似看成是有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一解法一 超几何分布解法二解法二 二项二项分布为次品率，Xb(100,0.01)解法三解法三 泊松泊松分布例例1随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质第三节为为X 的的分布函数分布函数。记作。记作设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义1 1是任意实数，称函数是任意实数，称函数的值就表示的值就表示X 落在区间落在区间上的概率上的概率.分布函数分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念 由定义，对任意实数由定义，对任意实数上的概率上的概率，用，用F(x)刻画随机点落在刻画随机点落在功能式功能式区间区间由于由于得得同理，还可以写出同理，还可以写出 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述计特性就可以得到全面的描述.当当 x0 时时，X x =，故故 F(x)=0例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时，F(x)=PX x=P(X=0)=F(x)=P(X x)解解X求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).当当 1 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.的分布函数图的分布函数图一般地一般地，设离散型随机变量，设离散型随机变量的分布律为的分布律为由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得的分布函数为的分布函数为二、分布函数的性质二、分布函数的性质 单调不减性单调不减性：右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数 归一归一 性性：，则，则具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。布函数。故该三个性质是分布函数的故该三个性质是分布函数的充分必要充分必要性质。性质。解解例例3 已知已知，求，求 A、B。所以所以例例4 已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为求求 X 的分布律。的分布律。解解 X 的可能取值为的可能取值为 3，4，5。所以所以 X 的分布律为的分布律为连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续型随机变量的定义一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量二、常用的连续型随机变量第四节一、连续型随机变量的定义一、连续型随机变量的定义定义定义1.设设 F(x)是是随机变量随机变量 X的分布函数的分布函数，若存在非负，若存在非负，使对任意实数，使对任意实数x,有有则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量，称，称为为 X 的的概率密度函概率密度函数数，简称简称概率密度概率密度或或密度函数密度函数。常记为常记为函数函数1.概率密度概率密度2.概率密度的性质概率密度的性质 非负性非负性 归一性归一性由于由于可由下图表示可由下图表示f(x)x面积面积为为1这两条性质是判定一个函这两条性质是判定一个函是否为某随机变量是否为某随机变量X的概率密度函数的的概率密度函数的充要条件充要条件。数数 对于任意实数对于任意实数，有，有这是因为这是因为这里事件这