计数原理 新高考数学知识点总结与题型精练（新高考地区专用）

计数原理 【考纲要求】 1、 理解分类计数原理与分步计数原理，培养学生的分析概括能力。 2、 理解排列组合的意义，会用排列数和组合数的公式 3、 理解二项式的性质，掌握多项式展开式的特殊项和系数问题 一、两种计数原理 【思维导图】 【考点总结】 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 二、排列与组合 【思维导图】 【考点总结】 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ (2)C＝＝＝ 性质 (3)0！＝1；A＝n！ (4)C＝C；C＝C＋C 三、二项式定理 【思维导图】 【考点总结】 1. 二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为. (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到. (4)二项式的系数从，，一直到，. 3. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，. (2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的． 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即， 4.二项式定理的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式； （3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①；②； （5）证明不等式. 【题型汇编】 题型一：两种计数原理 题型二：排列与组合 题型三：二项式定理 【题型讲解】 题型一：两种计数原理 一、单选题 1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况． 【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能， 因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能 故选：C． 2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【分析】由题可得当A拿贺卡b时有三种不同的分配方式，利用分类加法计数原理即得；或利用分步乘法计数原理，A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，进而即得. 【详解】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d， 当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c， 所以A拿b时有三种不同的分配方式； 同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式， 由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式； 解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡， 如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法， 接下来，剩下的两个人都各只有1种取法， 由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 故选：B. 3．（2023·全国·高三专题）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（    ） A．36种 B．72种 C．48种 D．24种 【答案】B 【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解 【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择． ①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择； ②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择． 综上，不同的涂法种数为． 故选：B． 4．（2022·全国·高三专题）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步乘法原理求解. 【详解】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种．故A，B，D错误. 故选：C． 5．（2022·全国·高三专题）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（    ） A．种 B．种 C．4种 D．24科 【答案】A 【分析】根据乘法原理求解即可 【详解】将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，根据乘法原理共有种 故选：A 6．（2022·全国·高三专题）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据各位数字之和等于6的所有可能情况，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三种情况分别讨论求和即可 【详解】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个； ②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个； ③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222． 共有个， 故选：C． 二、多选题 7．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段）已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（    ） A．组成可以有重复数字的四位数有个 B．组成无重复数字的四位数有96个 C．组成无重复数字的四位偶数有66个 D．组成无重复数字的四位奇数有28个 【答案】AB 【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案. 【详解】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确； 对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确； 对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误； 对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误； 故选：AB. 8．（2022·湖南·周南中学高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（       ） A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】BD 【分析】根据分步与分类计数原理逐个求解即可 【详解】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有种不同的选法，所以该选项错误： 对B，若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确； 对C，若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； 对D，若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确. 故选：BD 9．（2022·广东·顺德一中高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（    ） A．只需1人参加，有16种不同选法 B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法 C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法 D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法 【答案】ABC 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解. 【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确； 选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生， 故共有种选法，故B正确； 选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确； 选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误. 故选：ABC. 三、解答题 10．（2022·全国·高二课时）从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成一个分数，这样能组成多少个值不相等的分数？写出这些分数． 【答案】11个；具体分数见解析. 【分析】由分步乘法计数原理可得组成分数的个数，其中，减去1个值相等的分数即可得值不同的分数的个数，再一一写出即可. 【详解】解：从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成的分数个数为， 其中，所以组成值不相等的分数个数为， 它们是、、、、、、、、、、． 11．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定6名同学都参加） (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由人选项目，分个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； （2）由项目找人，分三个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解； （1） 每人都可以从这三个智力竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为． （2） 每项限报一人，但每人参加的项目不限． 因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参加．根据分步乘法