高考数学立体几何复习策略讲座

高考备考专题复习 高考数学立体几何中的切割与 补形  “切切割割”与与“补补形形”在在立立体体几几 何何中中有有着着广广泛泛的的应应用用，，常常常常起起 到到化化“难难”为为“易易”、、化化“繁繁 ”为为“简简”的的作作用用，，甚甚至至可可以以 将不可能变为可能！将不可能变为可能！ 地位与作用 巧用割补法快速解决立体几巧用割补法快速解决立体几 何问题何问题 目的与目标  例例1.(2017全国全国1卷卷改编改编)某多面体的三视图如某多面体的三视图如 图所示，其中正视图和左视图都由正方形和图所示，其中正视图和左视图都由正方形和 等腰直角三角形组成，正方形的边长为等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，， 俯视图为等腰直角三角形俯视图为等腰直角三角形，则，则该多面体的该多面体的体体 积积为为（（ ）） A．．8B．． C．．D．．16 一一. .切割切割————将不规则（或复杂）的几何将不规则（或复杂）的几何 体切割成规则（或简洁）的几何体体切割成规则（或简洁）的几何体  分析：由三视图可知该多面体如图分析：由三视图可知该多面体如图 所示，没有公式所示，没有公式能能直接求出它的体直接求出它的体 积。但我们可将它切割为一个直三积。但我们可将它切割为一个直三 棱柱和一个三棱锥。棱柱和一个三棱锥。 易知它们的底面均易知它们的底面均 是等腰直角三角形，高是等腰直角三角形，高 均是均是2。故该多面体的。故该多面体的 体积为体积为 快速解决！快速解决！  例例2.在在长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2cm=2cm，， AD=1cmAD=1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。 D B 1 A 1 D 1 C 1 A C B 此题有多种解法，此题有多种解法， 但计算都较繁琐。但计算都较繁琐。 补形法就很简单！补形法就很简单！ 二二.补形补形——将不规则（或不熟悉）的几将不规则（或不熟悉）的几 何体补成规则（或熟悉）的几何体何体补成规则（或熟悉）的几何体  在在 A1C1E中，中， 由余弦定理得由余弦定理得 A1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 补形法：补形法：如图，将一个一模一样的长方体与原长方体拼接起来（如如图，将一个一模一样的长方体与原长方体拼接起来（如 图所示），连结图所示），连结A1E，，C1E，易知，易知C1E∥∥ BD1，所以所以 A1C1E （或其（或其 补角）补角）为为A1C1与与BD1所成的角。所成的角。 F1 E F E1 B D B1 A1 D1C1 A C 把空间图形补成熟悉的或完整的几何把空间图形补成熟悉的或完整的几何 体，如正方体、长方体等，其目的体，如正方体、长方体等，其目的 在于易于发现两条异面直线的关系。在于易于发现两条异面直线的关系。 方法方法 归纳归纳  例例3.计算棱长为计算棱长为a的正四面体的体积。的正四面体的体积。 a a a a a a  若是直接计算，那将是很繁难的。采用补形法就非常容易若是直接计算，那将是很繁难的。采用补形法就非常容易 了！将四个三条侧棱两两垂直且底面边长为了！将四个三条侧棱两两垂直且底面边长为a的正三棱锥的正三棱锥 的底面拼接到正四面体的四个面上，就得到一个正方体！的底面拼接到正四面体的四个面上，就得到一个正方体！  易知此正方体的棱长为易知此正方体的棱长为 ，， 故正四面体的体积为故正四面体的体积为 这方法这方法 很棒吧！很棒吧！  1.如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形， 若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球 的表面积为（的表面积为（ ）。）。 （（A））4π （（B））16π （（C））24π （（D））25π 练习一练习一  画出三棱锥的直观图，不难发现，这是一个有画出三棱锥的直观图，不难发现，这是一个有三条棱三条棱 两两垂直两两垂直的三棱锥，的三棱锥，补形为长方体，问题就非常补形为长方体，问题就非常 容易解决了容易解决了。。 O A B C 2 2 4 显然有显然有(2R)2＝＝22+22+42,故故R2=6，，S球 球=24π，因此选 ，因此选C。。  A B C D O 解析：此题若直解析：此题若直 接求解，计算也接求解，计算也 是很繁琐的。是很繁琐的。 2 . 一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球，四个顶点在同一球 面上，则此球的表面积为（面上，则此球的表面积为（ ）） A. B. C. D. A 将此正四面体将此正四面体 补形成正方体，补形成正方体， 则正方体棱长为则正方体棱长为 1，， 外接球半径为外接球半径为 ，， 表面积为表面积为 。。  a a a a a a 三三. 正四面体的内切球半径问题正四面体的内切球半径问题——切割法切割法 构造三角形利用相构造三角形利用相 似比和勾股定理。似比和勾股定理。 此法既难又繁！切此法既难又繁！切 割法非常简洁！割法非常简洁！ 基本基本 方法方法 快速解 法 分别以正四面体的四个面为底、分别以正四面体的四个面为底、 以内切球球心为顶点，将正四以内切球球心为顶点，将正四 面体切割为四个三棱锥。面体切割为四个三棱锥。   （（1）这四个三棱锥的高与内切球的）这四个三棱锥的高与内切球的 半径有何关系？半径有何关系？ （（2）这四个三棱锥的体积与原正四）这四个三棱锥的体积与原正四 面体的体积有什么关系呢？面体的体积有什么关系呢？ 想一想想一想 （（1）这四个三棱锥的高都等于内切）这四个三棱锥的高都等于内切 球的半径。球的半径。 （（2）这四个三棱锥的体积之和等于）这四个三棱锥的体积之和等于 原正四面体的体积。原正四面体的体积。 结论结论 所以，有所以，有  解：如图，设内切球半径为解：如图，设内切球半径为r，，PH是正三棱锥的高，即是正三棱锥的高，即PH=1，，E是是 BC的中点，则的中点，则H在在AE上，上，∆ABC的边长的边长 ，， ∴∴ ，，∴∴ , , ∴∴ ，， 由切割法得由切割法得 例例4.正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为 ，正三棱锥内有，正三棱锥内有 一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． ∴∴ ∴ P A B C O E H  例例5.在球面上有四个点在球面上有四个点P、、A、、B、、C，如果，如果PA、、PB、、PC 两两互相垂直，且两两互相垂直，且PA＝＝PB＝＝PC＝＝a，那么这个球面的，那么这个球面的 面积是面积是_______. P A B C 这也太这也太 难了吧！难了吧！ 这其实就是这其实就是 正三棱锥外正三棱锥外 接球问题。接球问题。 四四. 四面体的外接球半径问题四面体的外接球半径问题——补形法补形法  A C B P O O 难则思变：将三棱锥P-ABC补成正方体， 正方体的棱长为a，且正方体的对角线就是球的直径！ 因此 ，所以 。 秒杀！秒杀！  A C B P O O 1 . 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为 、、 、、 ，则其外接球的体积等于，则其外接球的体积等于 . 解析：此题直接求解，解析：此题直接求解， 计算将很繁琐计算将很繁琐。。 这个三棱锥可补形成这个三棱锥可补形成 长方体，这样求解就长方体，这样求解就 简便得多了。简便得多了。 易得长方体对角线长为易得长方体对角线长为 ，所以球的半径为，所以球的半径为 ，， 因此球的体因此球的体 积为积为 。。 练习二练习二  2．一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为．一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为2 的等腰直角三角形，的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球则该几何体的外接球半径与内切球 半径之比为半径之比为 .  解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直，解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直， 设内切球的半径为设内切球的半径为r，由切割法可得：，由切割法可得： 解得解得 ，， 该几何体的外接球半径与内切球半径之比为该几何体的外接球半径与内切球半径之比为 答案：答案： ．． 故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长 为为 2 ，故外接球的半径为，故外接球的半径为 ，，  （（1）几何体的）几何体的“切割切割”与与“补形补形”的基本思想是的基本思想是 将不规则的、复杂的或不熟悉的几何体进行将不规则的、复杂的或不熟悉的几何体进行“割割 ”或或“补补”，使之成为有规则的、简洁的或熟悉，使之成为有规则的、简洁的或熟悉 的几何体。的几何体。 （（2））“割割”或或“补补”成长方体（正方体）是最常成长方体（正方体）是最常 见的割补方法，故要熟记长方体（正方体）的基见的割补方法，故要熟记长方体（正方体）的基 本性质、公式及有关结论。本性质、公式及有关结论。 课堂小结课堂小结  本单元典型试题类型及解题方法、策略本单元典型试题类型及解题方法、策略 4 4 本单元在全国高考新课标本单元在全国高考新课标ⅠⅠ卷中的地位和作用卷中的地位和作用 2 2 本单元本单元20222022年全国高考新课标年全国高考新课标ⅠⅠ卷（山东卷）预测卷（山东卷）预测 5 5 本单元近三年全国高考新课标本单元近三年全国高考新课标ⅠⅠ卷中考查情况统计分析卷中考查情况统计分析 1 1 本单元一轮复习目标、措施本单元一轮复习目标、措施 3 3 目 录 本单元教学案例本单元教学案例 6 6  年份年份全国卷全国卷题号号题型型总分分载体体考考查内容内容   2020   新新课标 Ⅰ卷卷 4单选题  22  数学文化数学文化 16填空填空题直四棱柱，球体直四棱柱，球体交交线长度度 20解答解答题四棱四棱锥线面垂直，面垂直，线面面夹角角   2021   新新课标 Ⅰ卷卷 3单选题  22 圆锥圆锥侧面展开面展开图，，圆锥 母母线长度度 12多多选题正三棱正三棱锥三棱三棱锥体体积，，线线垂直，垂直， 线面垂直面垂直 20解答解答题三棱三棱锥线线垂直，二面角，三垂直，二面角，三 棱棱锥体体积   2022   新新课标 Ⅰ卷卷 4单选题  27 棱台棱台数学文化数学文化 8单选题正四棱正四棱锥，球体，球体正四棱正四棱锥的体的体积 9多多选题正方体正方体异面直异面直线夹角，角，线面角面角 19解答解答题直三棱柱直三棱柱点到面的距离，二面角点到面的距离，二面角 夹角角 1、考查题型： 2020年、2021年均为2小1大，共计22分，2022年3小1大，共计27分。 从命题方向来看：（立体几何，解析几何均为3小1大，27分）强化几何，强化直观成为强化几何，强化直观成为 命题的一条隐形线命题的一条隐形线. . 从分值角度来看，分值有所增加，较往年增加一个客观题. 从题目难度来看，第4题考查棱台体积问题，计算量较大，第9题考查正方体中线线角， 线面角，难度较小，第8题结合外接球考查正四棱锥的体积取值范围，难度计算量都较大， 解答题考查点到面的距离，二面角夹角问题，平凡而不简单。 2、考查内容：考查内容丰富，整体稳定, ,主要考查几何体的表面积和体积；与球有关的主要考查几何体的表面积和体积；与球有关的 切、接问题、截面问题；线面、面面平行（垂直）的判定和性质空间中的线线角、线面切、接问题、截面问题；线面、面面平行（垂直）的判定和性质空间中的线线角、线面 角、二面角、空间距离，角、二面角、空间距离，几何体的折叠问题以及几何体的截面、交线问题等。。 呈现呈现重点必考，主干多考，次点轮考重点必考，主干多考，次点轮考。。  立体几何，是高中数学的核心内容之一，是高考的立体几何，是高中数学的核心内容之一，是高考的 必考内容，是培养数学学科核心素养的重要载体。该必考内容，是培养数学学科核心素养的重要载体。该 部分主要考查学生对转化、划归思考的应用，提升直部分主要考查学生对转化、划归思考的应用，提升直 观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 从今年高考来看，立体几何在高考中的比重变大，从今年高考来看，立体几何在高考中的比重变大， 同时要求也变高，计算量，思维量加大，对定理公理同时要求也变高，计算量，思维量加大，对定理公理 的考查更加灵活，同时出现了立体几何与其他知识的的考查更加灵活，同时出现了立体几何与其他知识的 交汇，这就要求我们在立体几何的复习中注重基础知交汇，这就要求我们在立体几何的复习中注重基础知 识的理解和思维能力的培养。识的理解和思维能力的培养。  1 1、明确考查重点：、明确考查重点： （1）认识简单几何体并会求简单几何体的表面积、体积； （2）理解空间中点、线、面的位置关系，能用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定 定理进行证明； （3）能用向量方法证明线线、线面、面面的平行和垂直； （4）能用向量方法求解线线、线面、面面的夹角问题； （5）能用向量方法求解点到直线、点到平面的距离问题。 2、关注考查热点：、关注考查热点： （1）空间线线、线面、面面的平行和垂直问题； （2）夹角,距离问题； （3）空间几何体的体积、表面积计算； （4）空间几何体与球的组合体； （5）立体几何与其它知识的交汇。 目标：目标：立体几何题在高考中分量加大，要求学生规范作答，争取不在此丢分。  3 3、具体措施：、具体措施： （（1 1））抓源固本，把握通性通法抓源固本，把握通性通法 近年高考命题的一个显著变化是：近年高考命题的一个显著变化是：由知识立意转为能力立意由知识立意转为能力立意，在知识网络的交汇点处设计试题，，在知识网络的交汇点处设计试题， 往往遵循大纲又不拘泥于大纲。但是，对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本往往遵循大纲又不拘泥于大纲。但是，对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本 上找到影子，不少高考题就是对课本原题的变形，改造及综合。课本和高考的关系是源与流的上找到影子，不少高考题就是对课本原题的变形，改造及综合。课本和高考的关系是源与流的 关系。因此，在复习备考中，一定要依纲据本，抓源固本，吃透教材实质，夯实基础，把握通关系。因此，在复习备考中，一定要依纲据本，抓源固本，吃透教材实质，夯实基础，把握通 性通法。性通法。 （（2 2））完善知识网络，突出主干完善知识网络，突出主干 立体几何的复习要在完善知识网络的过程中，要突出主干知识，才能以简驭繁，应对高考。如立体几何的复习要在完善知识网络的过程中，要突出主干知识，才能以简驭繁，应对高考。如 转化，化归是统帅立体几何的数学思想。在立体几何中既有位置关系之间的转化，如：证面面垂转化，化归是统帅立体几何的数学思想。在立体几何中既有位置关系之间的转化，如：证面面垂 直（平行）转化为证线面垂直（平行），再转化为证线线垂直（平行）直（平行）转化为证线面垂直（平行），再转化为证线线垂直（平行）, ,又有数与形的转化，如又有数与形的转化，如 用向量法解决立体几何问题。再比如：关于角的度量，既要将异面直线成角、直线与平面成角、用向量法解决立体几何问题。再比如：关于角的度量，既要将异面直线成角、直线与平面成角、 二面角依据概念转化为平面中的相交直线成角，又要学会将其转化为向量夹角等。二面角依据概念转化为平面中的相交直线成角，又要学会将其转化为向量夹角等。  （（3 3））重视空间想象能力，提高图形处理能力重视空间想象能力，提高图形处理能力 主观题中解题思路是主观题中解题思路是““作作- -证证- -求求””，强调作图，证明，计算相结合。备考中应着重训练空间想，强调作图，证明，计算相结合。备考中应着重训练空间想 象能力，即对空间几何体的观察分析和抽象的能力，要求象能力，即对空间几何体的观察分析和抽象的能力，要求““四会四会””：： 会画图会画图--------根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要 直观，虚实分明直观，虚实分明 会识图会识图--------根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系 会析图会析图--------对图形进行必要的分解，组合对图形进行必要的分解，组合 会用图会用图--------对图形或其某部分进行平移，翻折，旋转，展开或实行割补术对图形或其某部分进行平移，翻折，旋转，展开或实行割补术 （（4 4））论证条理，狠抓规范论证条理，狠抓规范 从近几年立体几何解答题的答题情况看，学生从近几年立体几何解答题的答题情况看，学生““会而不对，对而不全会而不对，对而不全””的想象严重（解题中论的想象严重（解题中论 述不严格，条理不清，缺条件，因果关系不成立等）。在平时的训练中，有意识的培养学生思述不严格，条理不清，缺条件，因果关系不成立等）。在平时的训练中，有意识的培养学生思 维的条理性和表达的规范性，做到分析问题有理有据，表达论证合规合矩。维的条理性和表达的规范性，做到分析问题有理有据，表达论证合规合矩。  （（5 5））重视创新性问题重视创新性问题 稳定是主流，创新是活力，也是高考改革的诉求。创新型试题大多是从试题的立意，结构，稳定是主流，创新是活力，也是高考改革的诉求。创新型试题大多是从试题的立意，结构， 情景和设问等角度，在立意方面有空间几何体中的轨迹问题，平面几何与立体几何类比型情景和设问等角度，在立意方面有空间几何体中的轨迹问题，平面几何与立体几何类比型 问题，以立体几何为背景的应用题。在结构方面有不规则几何体的割，补，平面图形与空问题，以立体几何为背景的应用题。在结构方面有不规则几何体的割，补，平面图形与空 间图形的折叠与展开，旋转与翻转。其目的就是：创设新颖的情境，激发学生的独立思考，间图形的折叠与展开，旋转与翻转。其目的就是：创设新颖的情境，激发学生的独立思考， 从数学角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意从数学角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意 识。因此在复习备考中，要十分重视学生的应变能力的培养。识。因此在复习备考中，要十分重视学生的应变能力的培养。 （（6 6））关注知识的交汇点关注知识的交汇点 高考对数学基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合，在知识网络的交汇点高考对数学基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合，在知识网络的交汇点 处设计试题。要求学生从宏观上把握住学科的整体意义，抓住问题本质，重视知识的迁处设计试题。要求学生从宏观上把握住学科的整体意义，抓住问题本质，重视知识的迁 移。如几何体的表面积和体积与函数，函数的单调性，导数，不等式的结合，空间夹角移。如几何体的表面积和体积与函数，函数的单调性，导数，不等式的结合，空间夹角 与三角函数的结合，几何元素运动变化与轨迹的结合等等。与三角函数的结合，几何元素运动变化与轨迹的结合等等。  专题课时安排内容 空间几何体及其表面积 与体积 一课时 多面体、旋转体的定义，表面积、 体积公式 空间中点、线、面之间 的位置关系 两课时 空间中点、线、面之间的位置关系， 线线、线面、面面平行和垂直的定 义、判定、性质，线线、线面、面 面夹角，点到线、点到面的距离 空间向量与立体几何两课时 空间向量的概念、计算以及应用 （夹角问题、距离问题） 综合复习一课时立体几何综合问题 4、课时安排、课时安排  1 1、、立体几何应用问题 (2019·全国卷ⅡⅡ，理16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一． 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信 形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成 的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多 面体共有________个面，其棱长为_________． 立体几何立体几何应用用问题近几年近几年频繁涉及，反映出命繁涉及，反映出命题者的者的 立意，考立意，考查数学的数学的实际应用，要求学生有用，要求学生有较强的数据的数据 处理能力和求解能力，渗透了数学文化与数学史，是理能力和求解能力，渗透了数学文化与数学史，是 高考数学命高考数学命题的的热点，点，值得我得我们关注关注。。  本题本题以我国以我国 “南水北调南水北调”工程工程 为素材，考查为素材，考查棱台的体积公棱台的体积公 式式，同时考查：学生的空间，同时考查：学生的空间 想象、数学阅读、运算求解想象、数学阅读、运算求解 等数学核心素养。等数学核心素养。 实际问题 立体几何 问题 数学抽象 解决实际问题 推理运算 难点：难点：1.将实际场景转将实际场景转 化为数学模型较难化为数学模型较难2.涉涉 及台体体积公式；及台体体积公式；3.计计 算量偏大算量偏大 。。  2 2、几何图形的内切球、外接球、几何图形的内切球、外接球 本题以正四棱锥的外接球为背本题以正四棱锥的外接球为背 景，考查锥体和球的体积公式，景，考查锥体和球的体积公式， 以及利用导数，不等式研究函以及利用导数，不等式研究函 数的最值问题，体现了直观想数的最值问题，体现了直观想 象、逻辑推理、数学运算等核象、逻辑推理、数学运算等核 心素养。心素养。 创新点创新点: :在于在于把多面体的外接球问题从以往的静把多面体的外接球问题从以往的静 态变为动态，并与函数态变为动态，并与函数，，不等式综合创新，体不等式综合创新，体 现了单一变量和函数现了单一变量和函数，，不等式的思想不等式的思想。。  我们先来看三个特殊位置：  方法一 方法二 通过求导，判断函数的 单调性，来求最值 也可以通过三元的基本不 等式来求最大值  2 2、几何图形的内切球、外接球、几何图形的内切球、外接球  解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求 解，其解题的思维流程是：   3 3、直线、平面的位置关系及夹角、距离问题、直线、平面的位置关系及夹角、距离问题 本题以直三棱柱为载体，考查本题以直三棱柱为载体，考查点到面的距离、二面角的正弦值点到面的距离、二面角的正弦值 的求解的求解，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。 本题的新颖之处：本题的新颖之处： （（1 1））第一问突破原来的第一问突破原来的““证明证明””题型，改为考查题型，改为考查““距离距离”” （（2 2）） 从以往从以往由由已知棱长求值的直接结构变为需要通过给出的已知棱长求值的直接结构变为需要通过给出的 条件得出棱长再求值的间接结构，且条件得出棱长再求值的间接结构，且隐性考查的空间中垂直关隐性考查的空间中垂直关 系的证明不是特别容易；系的证明不是特别容易；（该题的一个难点）（该题的一个难点）  方法一方法一 找到或作出二面角的平面角，将空间 问题转化为平面问题，利用解三角形 的知识求解。 几何法求解二面角平面角的常规步骤： 一找（寻找现成的二面角的平面角） 二作（若没有找到现成的，需要引出 辅助线作出二面角的平面角） 三求（有了二面角的平面角后，在三 角形中求出该角相应的三角函数值） 几何法对学生的空间 想象能力要求较高， 是学生的一大弱点, 所以学生通常选择向 量法。  用空间向量解决无需进行复杂的作图、论证、 推理,只需进行坐标运算进行求解。具体步 骤： （1）找出三条两两垂直且交于一点的直线 作为x轴，y轴,z轴，建系； （2）将点坐标化，线段向量化； （3）分别求出两二面角所在平面的法向量； （4）求两法向量的夹角； （5）将两法向量的夹角转化为二面角的大 小。  第一问主要涉及平行，第一问主要涉及平行，垂直的证明，垂直的证明，以及距离的求解以及距离的求解 第二问第二问面角的寻找、证明、平面化求解面角的寻找、证明、平面化求解仍是仍是解答题的解答题的热点热点 之一之一，同时几何体的体积问题时有出现，同时也要关注几，同时几何体的体积问题时有出现，同时也要关注几 何体的探索性问题何体的探索性问题  4 4、、几何体的截面交线问题 1 1、、作作截截面面首首先先得得依依据据公公理理3 3保保障障有有一一个个交交点点，，才才能能保保证证当当且且仅仅当当过过该该点点的的 唯一一条直线；凡是相交的平面都要画出它们的交线唯一一条直线；凡是相交的平面都要画出它们的交线. . 2 2、、作作交交线线的的方方法法有有如如下下两两种种：：①①利利用用公公理理3 3作作交交线线；；②②利利用用线线面面平平行行及及面面 面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. .；；  5 5、展开图与翻折问题、展开图与翻折问题 翻折问题求解原则： （1）充分利用不变量和不变关系：折叠前后始终位于折线同侧的几何量和几何关系 保持不变； （2）针对有些学生空间想象力不足这一现象，提高学生空间想象力，可以采用动手 折一折的方法。  立体几何仍会以空间常见几何体为载体，预测考点： 1、选择填空： （1）以立体几何为背景的数学文化 （2）截面，交线问题 （3）考查空间几何体与球相结合的问题。 （4）关注立体几何与函数，不等式等知识的交汇 2、解答题 （1）空间中位置关系（平行、垂直）的证明,点线距,点面距 （2）命题的“焦点”仍会锁定空间几何体的二面角的求解。 （3）对空间几何体的考查可能以新背景的形式呈现，解答题的第(2)问可能渗 透空间几何体的探索性问题  空间直线、平面的垂直 一、教学目标 1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直关系. 2.通过课堂教学，让学生积极参与课堂，实现方法的提炼和能力的提高。 二、重点难点 1、重点：线面垂直，面面垂直的判定性质定理。 2、难点：线面垂直，面面垂直的判定性质定理。  三、教学过程设计 (Ⅰ)再现型题组 1.(2022·百校大联考)若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平 面，则下列为真命题的是(　　) A.若m⊥l，n⊥l，则m∥n B.若m⊥β，m∥α，则α⊥β C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β 2.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　) A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1  3.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂 足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是(　　) A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC 4.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 请同学们整理归纳本节涉及的知识点、公式、思想方法。请同学们整理归纳本节涉及的知识点、公式、思想方法。  (Ⅱ)巩固型题组 1. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 2.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点， 且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD； (2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积. 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别 为AD，PB的中点.求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD.  (Ⅲ)提高型题组 1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平 面ABC. (1)求证：AA1⊥A1B； (2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C到平面A1ABB1的距离. 2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)， 平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.  (Ⅳ)反馈型题组 1.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射 影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 2.(多选)(2021·广州调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2， M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则(　　) A.A，M，N，B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDD1C1 C.直线BN与B1M所成的角为60° D.BN∥平面ADM 3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1 的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为 ________.  四、课堂小结 回顾这节课的学习，从以下几个方面谈谈自己的收获： ①收获了哪些知识、技能； ②是怎样获得这些知识、技能的； ③在获得这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法； ④还有哪些疑惑？ 4.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为 AC的中点. (1)求证：AC⊥平面BEF； (2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值. 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD ，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥平面ABCD； (2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为，求PD的长.