江苏省扬州市高二上学期数学期中考试试卷解析版

高二上学期高二上学期数数学期中考学期中考试试试试卷卷 一、一、单选题单选题 1．直线的倾斜角为（） A．B．C．D． 2．若直线与直线平行，则的值为（） A．-1B．2 C．-1 或 2D．或-2 3．若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（） A．6B．8C．9D．10 4．已知圆与圆0 相外切，则 m 的值为（） A．3B．4C．5D．6 5．已知椭圆的离心率为，则 的值为（） A．-4B．4C．-4 或D．4 或 6．阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半 轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦 点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（） A．B．C．D． 7．平面直角坐标系中，已知 长度的最小值是（） A．6 ，在两坐标轴上分别有动点、，且，是的中点，则 B．13C．10D．7 8．若双曲线：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长 为 ，则 的值为（） A．1B．C．D．2 二、多二、多选题选题 9．下列说法正确的是（） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在 轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．若方程表示圆，则 D．圆上有且只有三点到直线的距离都等于 10．已知双曲线，对于且，则下列四个选项中因 k 改变而变化的是（） A．焦距 11．设抛物线， B．离心率C．顶点坐标 为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ D．渐近线方程 ） A.抛物线的准线方程是 B.当轴时， C.若，则 取最小值 的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴相切 12.某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线 它们的斜率之积为，求点 M 的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为 ”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有： （） A.时，点 M 的轨迹为椭圆(不含与 x 轴的交点) B.时，点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆(不含与 x 轴的交点) C.时，点 M 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆(不含与 x 轴的交点) D.时，点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线(不含与 x 轴的交点) 三、填空三、填空题题 ，相交于点 M，且 ”拓展为“斜率之积为常数 13.抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为． 14.已知双曲线的渐近线方程为，写出双曲线的一个标准方程 . 15.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率 为 ．  16．已知圆，点在抛物线 的取值范围为. 上运动，过点引直线 ， 与圆相切，切点 分别为、，则 四、解答四、解答题题 17.在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 1设线段的中点为，求中线所在直线的方程； 2求边上的高所在直线的方程. 18.已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点 （1）求圆的方程； ，，. . （2）若圆与直线交于两点， ，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条 件③：. 19.已知平面上两点 1求动点的轨迹 2当动点满足 ，，动点满足. 的标准方程； 时，求点的纵坐标. 20．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点作倾斜角为 的直线 与抛物线交于两点. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 21．已知双曲线，点在上. 1求的方程； 2过点的直线 交于不同的两点（均异于点） ，求直线的斜率之和. 22．已知椭圆的右顶点为，焦距是，离心率. 1求椭圆的方程； 2直线（ 为直径的圆经过椭圆的右顶点 均为常数）与椭圆相交于不同的两点（均异于点） ， 若以 ，试判断直线 能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理 由． 答案解析部答案解析部分分 1． 【答案】B 【解析】【解答】由直线 直线的倾斜角为 ，则 所以，则。 故答案为：B ，可得，斜率为， ， 【分析】利用已知条件将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再结合直线的 斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角。 2． 【答案】C 【解析】【解答】直线与直线平行， ，或。 故答案为：-1 或 2。 【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等的性质，再利用直线不重合的判断方法，进而得出实数 m 的 值。 3 ． 【答案】B 【解析】【解答】抛物线的焦点，准线为 可知 M 到准线的距离也为 12，故到 M 到轴的距离是 8。 ，由 M 到焦点的距离为 12， 故答案为：B． 【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义和点到直线的 距离公式，进而得出点 M 到 y 轴的距离。 4． 【答案】A 【解析】【解答】由圆 则，所以 可得， ，  所以圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 ， 圆与圆相外切，则， 解得。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合圆的方程求出圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，再结合两圆 外切的位置关系判断方法，再利用半径之和与半径之差与圆心距的比较关系，进而求出实数 m 的值。 5． 【答案】C 【解析】【解答】因为，可得， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得； 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 综上所述，或。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式和 a，b 的关系式，得出 圆焦点的位置，进而得出实数 k 的值。 6 ． 【答案】A 【解析】【解答】椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，且椭圆 的面积为，所以，又因为两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以 得，解得， 所以椭圆的标准方程是。 故答案为：A 【分析】利用椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，且椭圆 的面积为，进而结合椭圆的面积公式得出 ab 的值，再利用两焦点与短轴的一个端点构成等边三角 形，再结合椭圆中 a，b，c 三者的关系式，进而得出 a，b 的值，从而得出椭圆的标准方程。 7 ． 【答案】D 【解析】【解答】不妨设点、分别在 、轴上，设点，则、， 所以，，化简得， 即点的轨迹为圆，该圆的半径为， 由圆的几何性质可得 。 故答案为：D. 【分析】不妨设点、分别在 、轴上，设点 式化简得，再利用圆的定义得出点的轨迹为圆 性质结合勾股定理得出长度的最小值 。 的值，再利用分类讨论的方法和椭 8 ． 【答案】A 【解析】【解答】圆的标准方程是，圆心为，半径为 2， 双曲线的一条渐近线方程为，即， ，则、，再利用两点距离公 ，进而得出圆的半径，再由圆的几何 圆心到它的距离为，所以弦长为，化简得， 又因为，所以 故答案为：A． 。 【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程，进而求出圆心坐标和半径长，再利用双曲线的渐近线方程求  出双曲线的一条渐近线方程为，再转化为渐近线的一般式方程为 公式得出圆心到双曲线的渐近线的距离，再结合弦长公式得出弦长，进而化简得 ，再利用点到直线的距离 ，再利用 c 的值，进 而得出 a 的值。 9． 【答案】C,D 【解析】【解答】对于 A，由当或时，过两点的直线方程不能表示为 ，A 不符合题意； 对于 B，经过点且在 轴和轴上截距都相等的直线方程还有，B 不符合题意； 即，C 符合题意； 的距离为 对于 C，若方程表示圆，则 对于 D，圆的圆心为原点，半径为 2，圆心到到直线 ，则圆上有且只有三点到直线的距离都等于 1，D 符合题意. 故答案为：CD. 【分析】利用已知条件结合两点式直线方程求解方法、截距式直线方程求解方法、方程表示圆的判断条件、 圆的标准方程求圆心坐标以及点到直线的距离公式，进而找出说法正确的选项。 10． 【答案】A,C 【解析】【解答】双曲线，且， ， 焦距为，离心率，顶点坐标，渐近线方程为：， 因 k 改变而变化的是焦距和顶点坐标。 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合双曲线的焦距求解方法、双曲线的离心率公式、双曲线的顶点坐标、双曲线的渐 近线方程求解方法，进而得出因 k 改变而变化的选项。 11． 【答案】A,C,D 【解析】【解答】A：抛物线的准线为 x＝－＝－1，A 符合题意； B：设，则，则 此时在原点，B 不符合题意； C：作图分析： ，当时取得最小值， A 在抛物线外部，故当 P、A、F 三点共线时|PF|取最小值 D：根据题意，可得抛物线的焦点为， ，C 符合题意； 设的中点为，可得 由抛物线的定义，得， ，即点到轴的距离等于以 ， 为直径的圆的半径， 因此，以 PF 为直径的圆与轴相切，D 符合题意﹒ 故答案为：：ACD 【分析】 利用已知条件结合抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程；设，则 ，再利用两点求距离公式结合放缩法得出，当时取得最小值，此 时在原点；利用点 A 在抛物线外部，故当 P、A、F 三点共线时|PF|取最小值，再结合两点距离公式得 出 AF 的长；根据题意，可得抛物线的焦点坐标，设的中点为，再利用中 点坐标公式可得，由抛物线的定义，得，进而得出，即点到 轴的距离等于以为直径的圆的半径，因此，以 PF 为直径的圆与轴相切，进而得出结论正确的选项。 12．【答案】B,C,D 【解析】【解答】设，， 整理可得（） ， 对 A，若，点 M 的轨迹为圆(不含与 x 轴的交点)，A 不符合题意； 对 B，若，由（） ，则，B 符合题意；  对 C，若，由（） ，则，C 符合题意； 对 D，，（） ，，D 符合题意. 故答案为：BCD. 【分析】设，利用两点求斜率公式整理可得（） ， 再利用 k 的取值范围结合椭圆 和双曲线的定义，进而得出点 M 的轨迹，进而找出结论正确的选项。 13． 【答案】4 【解析】【解答】抛物线的焦点(1，0)， 当时，可得：，解得． 所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为 所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为 4。 故答案为：4。 【分析】利用抛物线求出焦点坐标，当 焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为 时结合代入法和抛物线的标准方程得出 y 的值，所以过 ，进而得出过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦 长。 14． 【答案】(答案不唯一) 【解析】【解答】当双曲线的焦点在 轴上时，设方程为， 所以根据题意得，不妨设，则， 所以双曲线 C 的一个标准方程为。 故答案为：(答案不唯一)。 【分析】当双曲线的焦点在 轴上时，设方程为，再利用双曲线的渐近线方程得 出的值，不妨设，进而得出 b 的值，从而得出双曲线 C 的一个标准方程。 15． 【答案】 【解析】【解答】解：依题意可知 b=3c ∴a==c ∴e== 故答案为： 【分析】根据正三角形的性质可知 b=3c，进而根据 a，b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率 可得． 16． 【答案】 【解析】【解答】设，则， ，，切线长， 因为且平分线段， 所以 ， 因为，所以，， 所以。 故答案为：。  【分析】设，再利用代入法和抛物线的标准方程，则，再利用圆的标准方程求出圆心 C 的坐标，再利用两点距离公式得出，再利用勾股定理和两点距离公式得出切线长 ，再结合且平分线段和两点距离公式得出 ，再利用结合二次函数的图象求最值的方法和构造法得出的取值范围。 17． 【答案】（1）解：由题意，三个顶点坐标分别为 设中点坐标为，由中点公式可得 即中点坐标为，又由斜率公式，可得 所以中线所在直线的方程为，即 ，，， ，， ， （2）解：由，可得， 所以上的高所在直线的斜率为 则上的高所在直线的方程为 【解析】【分析】 （1） 由题意结合三角形 ， ，即. 三个顶点坐标分别为，， 中点坐标，又由两点求斜率公式，可得中线 ，设 中点坐标为，由中点坐标公式可得所在直线的斜 率，再利用点斜式求出中线所在直线的方程。 （2） 由，结合两点求斜率公式可得直线 AB 的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于- 1，进而得出上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出上的高所在直线的方程，再转化为上的 高所在直线的一般式方程。 1 8．【答案】（1）解：设圆心坐标为 因为圆心在直线上，所以 又圆与轴相切于点，所以 所以圆的圆心坐标为，则圆 （2）解：如果选择条件①，因为 ，半径为 ， . ， 的方程为； ，， 所以圆心到直线 的距离， 则，解得， 如果选择条件②，因为，， 由垂径定理可知圆心到直线 的距离． 则，解得， 如果选择条件③，因为 得，又 所以圆心到直线 的距离 ，所以， ， ， 则，解得． 【解析】【分析】 （1） 设圆心坐标为，半径为，再利用圆心在直线上结合代入法得出 ，再利用圆与轴相切于点，进而得出 b 的值和，进而得出圆的圆心坐标和半径 长，从而得出圆的标准方程。 （2） 如果选择条件①，利用， 结合余弦函数的定义得出圆心到直线 的距 离，再利用点到直线的距离公式得出 m 的值；如果选择条件②，利用，，由垂径定 理可知圆心到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出 m 的值；如果选择条件③，利用 结合数量积的定义得出两向量夹角的值，再利用，再结合余弦函数的定义 得出圆心到直线 的距离 ，再利用点到直线的距离公式得出 m 的值。 1 9．【答案】（1）解：动点满足， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且， 又因为，是焦点，所以椭圆焦点在 轴且，， 故动点的轨迹的标准方程为. （2）解：由（1）知，是椭圆的两个焦点，设，  在中，因为， 所以，即 又，所以， 在中， 又，所以，得点的纵坐标为 【解析】【分析】 （1） 利用动点满足，再结合椭圆的定义得出点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且进而得出 a 的值，再利用，是焦点，所以椭圆焦点在 轴且得出 c 的值，再利用椭圆中 a，b，c 三者的关系式，进而得出 b 的值，从而得出椭圆的标准方程，进而得出动点 的轨迹的标准方程 。 （2） 由（1）知，是椭圆的两个焦点，设，在中结合和勾股定理得 出，再利用椭圆的定义得出的值，进而结合完全平方和公式得出的（2）解：过点的直线 斜率显然存在， 值，在中结合三角形的面积公式和已知条件得出的值，从而结合绝对值的定义得出点的纵坐设 的方程为：，，， 标。 20． 【答案】（1）解：由双曲线的右顶点为， 由抛物线可得抛物线 的焦点， 所以，，所以抛物线的方程为： （2）解：由题意可得：直线 的方程： . ， 将直线与抛物线联立，整理可得， 设，，所以，， 所以， 原点到直线 的距离， 所以. 【解析】【分析】 （1） 由双曲线的标准方程求出右顶点坐标，由抛物线可得抛物 线的焦点坐标，再利用已知条件得出 p 的值，从而得出抛物线的标准方程。 （2） 由题意可得直线 的一般式方程，利用直线与抛物线相交，设，，将直线与抛物 线联立结合韦达定理得出，，再利用弦长公式结合韦达定理得出 AB 的长，再结合点到直 线的距离公式得出原点到直线 的距离，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积。 2 1．【答案】（1）解：∵点在上，∴，得. ∴双曲线的方程为. 将 的方程代入双曲线的方程并整理得 依题意，且， 所以且，又， 因此，可得， 【解析】【分析】 （1）利用点 . 在双曲线上结合代入法得出的值，进而得出双曲线的标准方 程。 （2） 过点的直线 斜率显然存在，设直线 的方程为： 直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ，，，再利用 且，再利用，所以 ，因此，可得，，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率之和。 22． 【答案】（1）解：由题意得：，解得  ∴椭圆的方程为：； （2）解：设，， 由得： ∵直线与椭圆相交于两点， ∴得：（ ） 由韦达定理：，； ∵以为直径的圆过椭圆的右顶点，∴， 由于，所以 从而 即，即 ∴或，均符合（ ） 当时，直线，即，所以恒过定点， 当时，直线，过定点，舍去． 综上可知：直线 过定点，该定点为． 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和焦距求解公式，再利用椭圆中 a，b，c 三者的关 系式，进而解方程组求出 a，b，c 的值，从而得出椭圆 C 的标准方程。 （2） 设，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 （ ） 和，，再利用以为直径的圆过椭圆的右顶点 ，得出，再结合两向量垂直数量积为 0 的等价关系，得出由于，再利用数 量积的坐标表示得出或，均符合（ ） ， 再利用分类讨论的方法结合 m 的值求出直线的方 程，再转化为直线的点斜式方程，进而判断出直线 过定点，并求出该定点坐标。