2021年天津津门中学高三数学理模拟试题含解析

2021年天津津门中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ΔABC中,,,若,则角C为 A． B． C． D． 参考答案： B 略 2. 对于函数若对于任意存在使得 且，则称为“兄弟函数”.已知 函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为       （A）            （B）2             （C）4           （D） 参考答案： B 3. 已知，则的值为 A.    B.     C.     D. 参考答案： D 略 4. 函数的大致图象是 参考答案： D 因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.函数的导数为，由，得，所以，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，选D. 5. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的                    (    )     A.充分非必要条件                B.必要非充分条件　     C.充要条件　　                  D.既非充分又非必要条件 参考答案： B 【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【正确选项】B 【试题分析】如果两直线、平行，则，且，所以两直线、平行，必要性成立；反之，如果且，则两直线重合，充分性不成立，故“”是“两直线、平行”的必要非充分条件,故答案选B. 6. 已知函数，则的值是（　　） A． B．9 C．﹣9 D．﹣ 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵， ∴f（）==﹣2， ∴=3﹣2=． 故答案为：． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 7. 双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ） （A）         （B）        （C）         （D） 参考答案： C 略 8. 设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（　　） 　 A． （0，1） B． （0，1] C． [0，1） D． [0，1] 参考答案： C 略 9. 执行如图的程序框图，若，则输出的S=（    ） A．2         B．       C．0         D．-1 参考答案： B 若，则： 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，； 满足循环的条件，， 当时，不满足进行循环的条件，此时输出结果，故选B．   10. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 （    ） A．(16,32)       B．(18,34)      C. (17,35)        D．(6,7) 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列4个结论： ①棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥； ②函数既不是奇函数又不是偶函数； ③若函数的值域为R，则实数a的取值范围是； ④若函数f(x)满足条件,则的最小值为． 其中正确的结论的序号是：______. (写出所有正确结论的序号) 参考答案：   ①③④ 12. 已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。 参考答案： 略 13. （5分）已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 　　． 参考答案： 设两向量的夹角为θ 有实根 即 ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14. （坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数且）与曲线（为参数）的交点坐标是             . Ks5u 参考答案： （1,2） 略 15. 过点（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，当|AB|=4时，直线l的方程为　　． 参考答案： x+2y﹣3=0 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣，由此能求出直线l的方程． 【解答】解：直线l：经过点（1，1）与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9相交于A，B两点，|AB|=4，则圆心到直线的距离为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1）+1，即kx﹣y﹣k+1=0 圆心到直线kx﹣y﹣k+1=0的距离d==，解得k=﹣， ∴直线l的方程为x+2y﹣3=0． 故答案为：x+2y﹣3=0． 16. 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． 【解答】解：由题意画出几何体的图形如图 由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=． 在RT△SHO中，OH=OC=OS ∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=Sh=××22×1=． 故答案是． 【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力． 17. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是                参考答案： 5 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）（2015秋?太原期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G． （1）求证：BE?EF=CE?BF； （2）求证：FE=FG． 参考答案： 【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立． （2）根据 CFE∽△EFB，可得BE?EF=CF?BF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FB?FC，从而证得结论成立． 【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF， 又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴ =，∴BE?EF=CF?BF． （2）∵CFE∽△EFB，∴ =，∴EF?EF=FB?FC， ∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB?FC，∴EF?EF=FG2，∴FG=FE． 【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题． 19. 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|． （1）求证：﹣3≤f（x）≤3； （2）解不等式f（x）≥x2﹣2x． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集． 【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立； 当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1， ﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立； 当x≥2时，f（x）=﹣3，成立； 故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1； 当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1； 当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键． 20. 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点.   （Ⅰ）证明：；   （Ⅱ）设圆的半径为，，延长交于点， 求外接圆的半径. 参考答案： 解：（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，，而.又因为，所以DE为直径，DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC. （II）由（1），，，故是的中垂线，所以，圆心为O，连接BO，则，，所以，故外接圆半径为. 略 21. （本小题满分12分） 已知函数f (t)=log2(2-t)+的定义域为D． (Ⅰ) 求D； (Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值． 参考答案： 【知识点】函数的定义域;二次函数的最值.B1,B5 【答案解析】(I) (II) 解析：解：(Ⅰ) 由题知解得，即．……………………3分 (Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分 ① 若≥2，即m≤-2时， g (x)在上单调递减，不存在最小值； ②若，即时， g (x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在； ③≤1即m≥-1时， g (x)在上单调递增， 此时，解得m=1．   …………………………11分 综上：． ………………………… 【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域，再根据二次函数的性质求出m. 22. （本小题满分12分） 已知多面体中，平面，，，为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）∵平面，，  ∴平面， ∵平面ACD，∴。 又∵，为的中点， ∴。 ∵平面，平面，， ∴平面  ---------------------------------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）如图，以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系。 ∵，∴， 设，则，， 设平面的一个法向量为，则由，得， 不妨取，则 ∵平面，∴平面的一个法向量为。 ，∴----------------------------------------------------8分 ∴平面与平面所成的小于的二面角为 （Ⅲ）解法一：设，则。 ∵平面，∴ 又∵，平面 平面，， ∴平面， ∵平面，∴平面平面。 连，过作，垂足为， 则平面。线段的长即为点A到平面的距离。 在中，=， ∴ 解法二：设，∵，平面。 ∴ ∵ ∴设点A到平面BCD的距离为， 则 ∵