2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；其次试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假设考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，赋予相应的分数. 第一试 一、选择题：（此题总分值42分，每题7分） 1已知x,y为整数，且得志(?1x111211那么x?y的可能的值有（ C ） )(2?2)?(4?4)， yxy3xyA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2已知非负实数x,y,z得志x?y?z?1，那么t?2xy?yz?2zx的最大值为 （ A ） 45912 B C D791625 3在ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1AE，那么 A（ B ） A6 B2 C3 D6 246张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，那么这3张卡片上所 写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ） A 1223 B C D2534 35设t表示不超过实数t

2、的最大整数，令t?t?t.已知实数x得志x?1?18，那么3x1x? x （ D ） 11 B3?5 C(3?5) D1 226在ABC中，?C?90?，?A?60?，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得ADE?ADE?90? ,那么BE的长为 为等腰直角三角形, A（ A ） A4?23 B2?3 C二、填空题：（此题总分值28分，每题7分） 1已知实数a,b,c得志a?b?c?1，2使得不等式 1(3?1) D3?1 2111?1，那么abc?_0_ a?b?cb?c?ac?a?b9n8?对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 17n?k153已知P为等腰ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC 交于点E，假设点P为ABE的内心，那么?PAC?48? 4已知正整数a,b,c得志:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，那么b? 36 其次试 （A） 一、（此题总分值20分）设实数a,b得志a2(b2?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求 11?的值 a2b2解 由已知条件可得a2b2?(a?b)2?40，ab?(a?b)

3、?8. 设a?b?x，ab?y，那么有x2?y2?40，x?y?8， 5分 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2). 10分 若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，那么a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这 个 方 程 的 判 别 式 ?(?2)2?24?20?0，没有实数 根； 15分 2若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，那么a,b是一元二次方程t?6t?2?0的两根，这 个方程的判别式?(?6)2?8?28?0，它有实数根.所以 11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22?8. 2222ababab220分 二（此题总分值25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且得志?ECD?ACB, AC的延长线与ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE?AFB 证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知D?ECD?ACB?. D5AE分 CF又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC?ABD?AFD，BECD所以 DAF， 15分 所以 分 EDCDAB?. 20DFAFAF 又?EDF?BDF?BAF，所以

4、EDFBAF，故 ?DFE?AFB. 25分 三（此题总分值25分）设n是整数，假设存在整数x,y,z得志n?x3?y3?z3?3xyz，那么称 n具有性质P.在1，5，2022，2022这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并 说明理由. 解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P. 取x?y?2，z?1，可得5?23?23?13?3?2?2?1，所以5具有性质P.5分 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz，那么 f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z) (x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)(x?y)?(y?z)?(z?x) 2?10 分 不妨设x?y?z， 假设x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y

5、?z，那么有f(x,y,z)?3z?1； 假设x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，那么有f(x,y,z)?3z?2； 假设x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，那么有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P. 因此，1，5和2022都具有性质P. 20分 若2022具有性质P，那么存在整数x,y,z使得2022?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).留神到3|20，从而可得3|x?(y?33(y?z，)故3|x?z，于是有 9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|2022，但202292236，冲突，所以2022 不具有性质P. 25分 其次试 （B） 一（此题总分值20分）同（A）卷第一题. 二（此题总分值25分）如图，已知O为ABC的外心，AB?AC，D为OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD?7，DC?3，求AH. 解 延长BD交O于点N，延长OD交O于点E，由 A题意得?NDE?ODB?OCB?OBC?CDE，所

6、以DE?BDC为的平分线. 5分 HNO又点D在O的半径OE上，点C、N在O上，所以点DNCOE、关于直线对称，EDN?DC. 10分 FCB延长AH交O于点M，由于O为圆心，AM?OD，所 以点A、M关于直线OD对称，AH?MH.因此MMN?AC?A. B 15分 又?FNM?FAB，?FBA?FMN，所以 ABFNMF，所以MF?BF，FN?AF. 20分 ?FM?FN?B?FB?NB?DD?N?B?7?3?10，即因此，AM?AF D2AH?10，所以AH?5. 25分 三（此题总分值25分） 设n是整数，假设存在整数x,y,z得志n?x3?y3?z3?3xyz，那么称n具有性质P. （1）试判断1，2，3是否具有性质P； （2）在1，2，3，2022，2022这2022个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？ 333解 取x?1，y?z?0，可得1?1?0?0?3?1?0?0，所以1具有性质P； 333取x?y?1，z?0，可得2?1?1?0?3?1?1?0，所以2具有性质P； 5分 若3具有性质P，那么存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?

7、zx)，从而可得3|(x?y?z)，故3|(x?y?z)，于是有9|(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即 339|3，这是不成能的，所以3不具有性质 P. 10分 （2）记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，那么 333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z) (x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)(x?y)?(y?z)?(z?x) 2?15 分 不妨设x?y?z， 假设x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，那么有f(x,y,z)?3z?1； 假设x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，那么有f(x,y,z)?3z?2； 假设x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，那么有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P.20分 又若3|f(x,y,z?)3?x(?yz?)3?x(?yz)(x?y?y，z那么z)x|x3(?y?z3)，从而 3|(x?y?z)，进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z

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