《经济应用数学》教学教案（共25课）第23课-数理统计初步（一）

1、23数理统计初步（一） 第 课1课题课题数理统计初步（一）数理统计初步（一）总体、样本、统计量，点总体、样本、统计量，点估计与区间估计估计与区间估计课时课时2 课时（90 min）教学目标教学目标知识技能目标：知识技能目标：（1）理解总体、个体、样本的概念。（2）了解常用统计量的分布。（3）理解点估计与区间估计的概念。思政育人目标：思政育人目标：通过学习数理统计的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重难点教学重点：教学重点：总体、个体、样本的概念，点估计与区间估计的概念教学难点：教学难点：常用统计量的分布教学方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计教学设计第第 1 1 节课：节课：考勤（2 min） 引例导入（5 min） 知识讲解（28 min）课堂测验（10 min）第第 2 2 节课：节课：知识讲解（30 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程教学过程主要教学内容及步骤主要教学内容及步

2、骤设计意图设计意图第一节课第一节课考勤考勤（2 2 minmin） 【教师教师】清点上课人数，记录好考勤清点上课人数，记录好考勤 【学生学生】班干部报请假人员及原因班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入引例导入（5 5 minmin）【教师教师】讲解引例讲解引例引例1 要了解某市居民 2020 年的收入情况，通常不会花费大量人力物力去一一调查，而是采取抽样调查方法，即抽查该城市一小部分居民的收入情况，如抽取 1 000 个人，统计他们 2020 年的收入，由此推断该城市居民的年收入情况引例 2 检测某品牌电视机的开箱合格率，从一批电视机中任取 3 箱，进行开箱检测引例 3 某公司开发出一款新型灯丝灯泡，为了解该新型灯丝灯泡的使用寿命，可抽取 200 只新型灯丝灯泡，测试其使用寿命上面这些例子都有一个共同特点，就是为了研究某个对象的性质，只研究对象包含的一部分元素，而不是研究对象包含的所有元素通过对这部分元素的研究，推断对象全体的性通过引例使学生了解数理统计在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的第 课 数理统计初步（一） 232质这就

3、引出了总体、个体和样本的概念 【学生学生】聆听、思考聆听、思考知识讲解知识讲解（2828 minmin） 【教师教师】讲解总体和样本讲解总体和样本定义 1 在数理统计中，所研究对象的全体称为总体，用随机变量 X 表示定义 2 组成总体的每个基本单元称为个体，用表示12nXXX，定义 3 从总体中随机抽取的 n 个个体，12nXXX，称为总体的一个样本，样本中所含个体的数目n 称为样本容量，一个样本的 n 个观察值12nXXX，称为样本值12nxxx，若样本相互独立，且与总体 X 服从同一分12nXXX，布，则称此样本为简单随机样本本书中的样本均是指简单随机样本【学生学生】理解总体和样本的概念理解总体和样本的概念【教师教师】讲解统计量讲解统计量定义 4 设是总体 X 的一个样本，12nXXX，是一个连续函数，如果12()nf XXX，中不包含任何未知参数，则称12()nf XXX，为一个统计量当12()nf XXX，取完一组观察值时，12()nXXX，12()nxxx，就是统计量的一个观察值12()nf xxx，显然，统计量是随机变量，应注意其不含未知参数例如，若且未知，是2()XN，2

4、，12nXXX，总体 X 的一个样本，则，11niiXn21niiX21(4)niiX等均为统计量；而，211()1niiXXn1()niiX学习总体、样本、统计量 ，几种常用统计量的分布。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化23数理统计初步（一） 第 课3均不是统计量这是因为前者不含未知参数，21niiX而后者含未知参数和其中，称为样本均值，11niiXXn称为样本方差，2211()1niisXXn称为样本标准差，这些都是常用的211()1niisXXn统计量【学生学生】了解统计量了解统计量【教师教师】讲解几种常用统计量的分布讲解几种常用统计量的分布1U统计量的分布定义 5 设，是 X 的一个样2()XN ，12()nXXX，本，则称为u统计量，且/Xn(0 1)/XuNn，在讨论正态总体的相关问题时，经常用到标准正态分布的分位点，故进行简单介绍设，对于给定的，若满足(0 1)uN，(01)，/2/2| | |1PuuPuu 或则称点为标准正态分布的双侧分位点或双侧临界值，/2u其几何意义如图 8-1 所示图图 8-1第 课 数理统计初步（一） 2342T统计量的分布定义 6 设

5、，是的一个2()XN ，12()nXXX，X样本，则称为t统计量，且（证/Xsn(1)/Xtt nsn明略）类似于标准正态分布，对于给定的，若满足(01)，/2| |(1)Pttn则称点为 t 分布的双侧分位点或双侧临界值，/2(1)tn自由度为1n 同样可以查附表“t 分布临界值表”，得临界值，/2(1)tn其几何意义如图 8-2 所示图图 8-23X统计量的分布定义 7 设，是的一个2()XN ，12()nXXX，X样本，则称为统计量，且22(1)ns2（证明略）2222(1)(1)nsn类似于标准正态分布，对于给定的，若满足(01)，22221/2/2(1)(1)Pnn则称点为分布的双侧分位点22/21/2(1)(1)nn，2或双侧临界值，自由度为同样可以查附表“检1n 223数理统计初步（一） 第 课5验临界值表”，得临界值，其几何22/21/2(1)(1)nn，意义如图 8-3 所示图图 8-3【学生学生】了解几种常用统计量的分布了解几种常用统计量的分布课堂测验课堂测验（1010 minmin） 【教师教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况出几道测试题目，测试一下大家的

6、学习情况 【学生学生】做测试题目做测试题目 【教师教师】公布题目正确答案，并演示解题过程公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课第二节课知识讲解知识讲解（3030 minmin） 【教师教师】讲解点估计，并通过例题讲解介绍其应用讲解点估计，并通过例题讲解介绍其应用引例 1 某品牌冰淇淋店在某市有多家分店，为了解该品牌冰淇淋的销售情况，营销人员挑选了一家具有代表性的分店，并记录了某月冰淇淋的销售量 x（杯），如表 8-1 所示求该数据样本均值和标准差分析 由此数据计算出样本均值为学习点估计与区间估计。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第 课 数理统计初步（一） 236，31111129.5231niiiixxxn样本标准差为211()4.4861niisxxn因此，由该数据样本估算出该分店每天的平均销售量为29.52 杯，标准差为 4.486这个过程就是点估计的过程点估计是指由一组样本计算出样本统计量来估算总体参数

7、的真值通常用表示所研究总体参数的真值，表示样本统计量，即的点估计值在引例 1 中，该分店每天的平均销售量为 29.52 杯，若数据调整为（29.523.2）杯，即为杯，而这个区26.3232.72间值可信程度达到 90%显然用这种估计方法所计算出来的数值较好因此较好的估计方法是以点估计值为中心加减一个边际误差值来建立一个包含上下限的区间，即点估计值边际误差值，并指出区间的可信程度这种方法称为区间估计定义 1 设总体 X 的概率密度为，为未知参数()f x ，为取自总体 X 的一个样本，若对于事先给12nXXX，定的，存在两个统计量和(01)12()n XXX，使得12()nXXX，1212 ()()1nnP XXX XXX ，则称区间为置信区间，与分别称为置信区间的下() ，限和上限，称为置信系数或置信度，称为置信水平，1其中是事先给定的一个很小的正数【学生学生】理解点估计和区间估计的概念，置信区间、置理解点估计和区间估计的概念，置信区间、置信系数、置信水平的概念信系数、置信水平的概念【教师教师】讲解区间估计讲解区间估计23数理统计初步（一） 第 课71正态总体均值的区间估计1）总体方

8、差已知时，求的置信区间21由于已知，所以 u 统计量2(0 1)/XuNn，对于给定的置信度，由 u 分布可知1/2/21/xPuun 成立，即，/2/21P xuxunn 所以，的置信区间为1/2/2xuxunn，例 1 以引例 1 为例，设总体服从正态分布，若根据以往销售量得到总体标准差为 3.5，利用点估计方法抽出一个样本，容量为 31，计算出，取置信度为 95%，求该店每29.52x 天销售量的置信区间解 由题意知，3129.523.5nx，因为，所以查附表“标准正态分布表”得10.95/20.0251.96uu，/23.51.961.23231un，/229.521.23228.288xun/229.521.23230.752xun所以，取置信度为 95%时，该店每天销售量的置信区间为(28.288 30.752)，2）总体方差未知时，求的置信区间21第 课 数理统计初步（一） 238由于未知，用样本标准差 s 代替，此时 t 统计量为2(1)/Xtt nsn对于给定的置信度，由 t 分布可知1/2/2(1)(1)1/xPtntnsn 成立，即，/2/2(1)(1)1ssP

9、xtnxtnnn 所以，的置信区间为1/2/2(1)(1)ssxtnxtnnn，例 2 以引例 1 为例，若总体方差未知，求取置信度为 95%时，该店每天销售量的置信区间解 由题意知，由样本值求得标准差3129.52nx，4.486s 因为，所以附表“t 分布临界值表”得10.95/20.025(1)(30)2.0423tnt，/24.486(1)2.04231.64631stnn，/2(1)29.521.64627.874sxtnn/2(1)29.521.64631.166sxtnn所以，取置信度为 95%时，该店每天销售量的置信区间为(27.874 31.166)，对于均值不是正态分布的一般总体 X，当样本容量 n 相当大时（一般），其样本变量和与统计量近似地服从30n X正态分布故在大样本情况下，对于一般总体仍可用上述方法进行区间估计23数理统计初步（一） 第 课92正态总体方差的区间估计因为样本来自正态总体，所以正12nXXX，2()N ，态总体方差的区间估计可用统计量222222(1)(1)nsn对于给定的置信度，由分布知122221/2/22(1)(1)(1)1nsP nn

10、 成立，即22222/21/2(1)(1)1(1)(1)nsnsPnn 故正态总体方差的置信区间为212222/21/2(1)(1)(1)(1)nsnsnn，例 3 现仍以引例 1 为例研究，假设该冰淇淋店每天销售量服从正态分布，求取置信度为 95%时，其总体方差的置信2区间解 由题意知，由样本值求得标准差31n 4.486s 因为，所以查附表“检验临界值表”得10.952，22/20.025(1)(30)47n221/20.975(1)3016.8n（），222/2(1)304.48612.845(1)47nsn2221/2(1)304.48635.936(1)16.8nsn所以，取置信度为 95%时，该店每天销售量的置信区间为(12.845 35.936)，单个正态总体参数的置信区间如表 8-2 所示（置信水平为）第 课 数理统计初步（一） 2310. 【学生学生】了解正态总体均值的区间估计和正态总体方差了解正态总体均值的区间估计和正态总体方差的区间估计的区间估计课堂测验课堂测验（1010 minmin） 【教师教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况出几道测试题目，测试一下大

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