《经济应用数学》教学教案（共25课）第21课-概率论基础（二）

1、21概率论基础（二） 第 课1课题课题概率论基础（二）概率论基础（二）事件的独立性、全概率公式事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式、随机变量及其分布与贝叶斯公式、随机变量及其分布课时课时2 课时（90 min）教学目标教学目标知识技能目标：知识技能目标：（1）理解事件的独立性。（2）了解全概率公式与贝叶斯公式。（3）掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念。（4）掌握常用的两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布。思政育人目标：思政育人目标：通过学习概率论的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重难点教学重点：教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念教学难点：教学难点：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布教学方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计教学设计第第 1 1 节课：节课：考勤（2 min） 知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第第 2 2 节课：节课

2、：知识讲解（30 min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程教学过程主要教学内容及步骤主要教学内容及步骤设计意图设计意图第一节课第一节课考勤考勤（2 2 minmin） 【教师教师】清点上课人数，记录好考勤清点上课人数，记录好考勤 【学生学生】班干部报请假人员及原因班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解知识讲解（3333 minmin） 【教师教师】讲解事件的独立性，并通过例题讲解介绍其应讲解事件的独立性，并通过例题讲解介绍其应用用定义 6 设是同一试验中的两个事件，若中任AB，AB，一事件的发生与否不影响另一事件的概率，即或，则称事件 A 与事件 B 相(|)( )P B AP B(|)( )P A BP A互独立，否则称其不相互独立例 6 某科研项目由3 个小组独立研究，这3 个小组成功完成该项目的概率分别为0.25，03，0.4，求该项目被研究成功的概率解 设分别表示 3 个小组成功完成该项目的事123AAA，件，由题意知学习事件的独立性，全概率公式与贝叶斯公式，随机变量的概念。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第 课 概

3、率论基础（二） 212，1()0.25P A 2()0.3P A3()0.4P A由于相互独立，且该项目被研究成功的事件为123AAA，而事件与互为对立123()AAA123()AAA123()A A A事件，所以123123()1()P AAAP A A A 由相互独立事件的性质可知，也相互独立，所123AAA，以123123123()1()1() () ()P AAAP A A AP A P A P A 1(10.25)(10.3)(10.4)0.685 例 7 某采购部门分别向供应商 A 和供应商 B 紧急采购一批特殊原料，如果两批原料均未在 4 天内运达，则生产就必须停止直到原料运达为止供应商 A 在 4 天内将原料运达的概率为 0.55，供应商 B 在 4 天内将原料运达的概率为 0.35，假设这两个供应商将原料运达的时间相互独立，请计算下列事件的概率（1）两个供应商均在 4 天内将原料运达；（2）至少有一个供应商在 4 天内将原料运达；（3）4 天后由于原料短缺而被迫停产解 设44AABB供应商在天内将原料运达，供应商在天内将原料运达（1）；()( ) ( )0.550.3

4、50.1925P ABP A P B（2）（3()( )( )()0.550.350.19250.707 5P ABP AP BP AB）因为相互独立，所以，与也相互独立AB，AB( )1( )10.550.45( )1( )10.350.65P AP AP BP B ，所以，()( ) ( )0.450.650.2925P ABP A P B【学生学生】理解事件的独立性理解事件的独立性【教师教师】讲解全概率公式与贝叶斯公式，并通过例题讲讲解全概率公式与贝叶斯公式，并通过例题讲解介绍其应用解介绍其应用1全概率公式定义 7 若为完备事件组，B 为任意事件，12nAAA，21概率论基础（二） 第 课3则111( )() (|)() (|)() (|)nnniiiP BP A P B AP A P B AP A P B A，该公式称为全概率公式例 8 设某厂从两个不同供应商处购买零件，该厂有 65%的零件由供应商 1 提供，其余 35%由供应商 2 提供供应商 1提供的零件质量保证率为 95%，供应商 2 提供的零件质量保证率为 90%现从中任取一个零件，其质量保证率为多少？解 设，11A

5、供应商提供的零件，有质量保证的零件，22A 供应商提供的零件B 则1212()0.65()0.35(|)0.95(|)0.9P AP AP B AP B A，显然，任取一个零件，不是供应商 1 提供的，就是供应商 2提供的，即且，所以与互不12AA12A A 1BA2BA相容于是121212( )() ()()()()()P BP BP B AAP BABAP BAP BA1122() (|)() (|)0.650.950.350.90.9325P A P B AP A P B A所以，任取一个零件，其质量保证率为 93.25%例 9 设仓库有 10 箱相同规格的产品，已知其中有 5 箱、3箱、2 箱分别是甲厂、乙厂、丙厂生产，且甲厂、乙厂、丙 厂生产该种产品的正品率依次为，从这10 箱产品91419101520，中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率解 设(1 23)iAii第厂生产的产品，分别表示甲厂、乙厂、丙厂，为完备事件组，则123AAA，B 正品112233( )() (|)() (|)() (|)P BP A P B AP A P B AP A P B

6、A 593142190.92101010151020所以，任取一件产品取得正品的概率为 0.92第 课 概率论基础（二） 2142贝叶斯公式定义 8 若为完备事件组，12nAAA，；另有事件 B，它总是与事件()0(1 2)iP Ain，之一同时发生，则有12nAAA，1() (|)(|)() (|)iiinjjjP A P B AP A BP A P B A该公式称为贝叶斯公式因为是在试验得到结果“事件发生”后求得的关(|)iP A BB于事件的概率，故称为先验概率，为后验iA()iP A(|)iP A B概率例 10 在例 8 中，如果从这批零件中随机任取一个发现是合格品，求这件合格品是由供应商 1 提供的概率解 由题意得，要求的概率为，由贝叶斯公式得1(|)P AB1111122() (|)0.650.95(|)0.662 2() (|)() (|)0.9325P A P B AP ABP A P B AP A P B A【学生学生】了解全概率公式与贝叶斯公式了解全概率公式与贝叶斯公式【教师教师】讲解随机变量的概念讲解随机变量的概念定义 1 在某一随机试验中，对于试验的每一个样本

7、点，都唯一对应一个数值，这样按不同样本点而取不同数值的点称为随机变量通常用希腊字母或大写英文字母，等表示随机变量，用小写英文字母表示随XYZ，iixy，机变量对应于某个随机试验结果所取的数值以下为一些随机变量的例子（1）投掷骰子出现的点数用随机变量 X 表示，X 可取值为；123456，（2）话务台每小时收到的呼叫次数用 Y 表示，Y 可取值为；012，（3）地铁调度中心安排每 5 min 发一辆车，乘客在站台的候车时间； |05tt21概率论基础（二） 第 课5（4）某电子零件的寿命用表示 |03000Ttt根据取值情况不同，随机变量可分成以下两类（1）离散型随机变量：取有限个或无限个可以列出的数值，如上述例子中的（1）（2）；（2）非离散型随机变量： 可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值，非离散 型随机变量的范围较大，本书只研究其中常见的一种，即连续型随机变量，如上述例子中的（3）（4） 【学生学生】掌握随机变量的概念掌握随机变量的概念课堂测验课堂测验（1010 minmin） 【教师教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生

8、学生】做测试题目做测试题目 【教师教师】公布题目正确答案，并演示解题过程公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课第二节课知识讲解知识讲解（3030 minmin） 【教师教师】讲解离散型随机变量及其概率分布讲解离散型随机变量及其概率分布，并通过例题讲，并通过例题讲解介绍其应用解介绍其应用定义 2 设 X 是一个随机变量，如果 X 的所有可能取值为有限个或无限个可以列出的值，则称 X 为离散型随机变量要掌握一个随机变量的变化规律，不但要知道它可能取什么值，更重要的是要知道它取每一个值的概率是多少定义 3 设 X 是一个离散型随机变量，其可能取的值为，则称()12kxk ，(12)kkP Xxpk，为 X 的概率分布，简称分布列或分布例 1 现有 2 个一级品、3 个二级品，从中随机取出 3 个，用 X 表示取出其中一级品的个数，求 X 取不同值时的概率解 由题意知，X 的可取值为012，学习离散型随机变量及其概率分布，连

9、续型随机变量及其概率密度 。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第 课 概率论基础（二） 216，3335C10C10P X 122335C C31C5P X 212335C C32C10P X 下面介绍三种常见的离散型随机变量的分布1两点分布引例 1 一批产品共 100 件，其中有 3 件次品从这批产品中任取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量描述试验的结果，并写出其概率分布分析 在该试验中，试验的结果只有两种：要么取出正品，要么取出次品若设取出正品，则取出次品，显A A 然有，1971100C97( )C100P A 131100C3( )C100P A 设 X 是一个随机变量，若用表示“取出正品”，0X 表示“取出次品”，则 X 只有 0 和 1 两个取值，且1X ，1971100C970C100P X 131100C31C100P X 上述随机变量 X 的分布就为两点分布一般地，一个试验若只有两种可能的结果：A 发生与发生，A且，因此我们可以定义随机变量 X( )P Ap( )1P Ap 为表示事件 A 发生，表示事件发生，1X 0X A其概率分布为，其中C(1

10、)(0) 1kkn knP Xkppk，此时称随机变量 X 服从以为参数的两点分布01pp（或 0-1 分布），记作(0 1)X ，2二项分布二项分布的适用背景是伯努利试验所谓伯努利试验是指：试验可以在相同条件下重复进行 n 次，每次试验的结果互不影响，即每次试验是独立的；每次试验只可能出现两种结果和；每次试验中发生的概率均相同若记AAA，则( )(01)P App( )1P Apq 21概率论基础（二） 第 课7具有以上特点的试验称为n重伯努利试验，也称独立试验序列概型如果随机变量 X 的概率分布为，其中，C(0)12kkn knP Xkp qnk，01p，则称 X 服从以为参数的二项分布，记作1qp np，()XB np，显然，当时，二项分布就是两点分布1n 例 2 某射手射击一次，命中靶心的概率为 0.7，现该射手向靶心射击 5 次，试求下列事件的概率（1）命中靶心；（2）恰有 3 次命中靶心解 设该射手命中靶心的次数为 X，则 X 可能的取值为0， 1， 2， 3， 4， 5该情形符合二项分布，且(5 0.7)XB，（1）用表示事件命中靶心，根据对立事件的概率0X 公式和二项分

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