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1992年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析

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1、1992年数学（三）真题解析、填空题（1）【答案】（10,20.【解】【解】由Q = 100 5P $ 0得P20,需求对价格的弹性为dQ/dP 5PQ/P = 100- 5P 由I曙等| = looY 5P 1得P 10,故价格范围为10P 20.（2）【答案】（0,4）.【解】【解】由lim =2得收敛半径为尺=2,an 4当工一2 = 士2时，空生容 =S 丄发散，故级数的收敛域为（0,4）.” =1 n 4 n = l 71fl fx2 fVF f V2x22【解】【解】limF (jc ) =lim -x-a x-*a JC CL【答案】 Ajc f（jc y）dy + djr /（无，）如【解】【解】积分区域D = （工，夕）丨冬J2 ZJ匕, 将区域向工轴投影，令D = （工，歹）| 0工1,0 =夕无2,则D2 = (eq) | a/2 ,0y x2 ,5/ 2-y2d 2_/(r ,y)dy.242/(x y)dy +J Ax/(h = AjcJ oV70 o0(4)【答案】(-l)mna6.【解】【解】C=O AB O=(-1)”B OO A=(一 1)

2、如 | A | | B | = ( rnah.【答案】Tleo-【解】【解】设题中的事件为A,样本点总数为n = 7,有利于A的样本点为2! - 2! = 4, 所求的概率为p=寻=歯.二、选择题（1）【答案】（B）./(t)dt= a2 lim -a x aa2 lim/(x ) = a2 f(a ),应选(B)（2）【答案】（D）.【解】【解】当无-*0时，1 COS X2，J _无2 1一1 2 X2,x 一 tan x 由limx-*0sec2 x得 x - tan X _ y3X 3故 jc 一 tan x是比其余三个更高阶的无穷小量，应选（D）.1992年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 5 页(3) 【答案】(A).【解】【解】AX = 0只有零解的充分必要条件是r(A) =n,因为矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩相等，所以矩阵A的列向量组的秩为”，故A的列向量组线性无关，应选(A).(4) 【答案】(B).【解】【解】由题意得AB U C,P(AB) W P(C),P(A +B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A)+

3、 P(B)-PCC),再由 P(A + B) W 1得 P(A) + P(B) P(C) + 丄卩2，六、【解】【解】d2z0工/ 、 z H 1 / 工 cos(zy) -(p i2-( (P 2-47t2由V(a) = 4- Km V(e),即善(1 一厂加)=手得a = 山2.2 l+ L 4 L设切点为(a,ea),曲线在该点的切线方程为y =-e(H a), 令 z = 0 得 y = ea (a + 1);令 jy = 0 得工= a + l,则 S(a) = *(a + l)2ea.由 S(a) = - (1 a2 )ea = 0得a = 1,又当 0 a 0；当 a 1 时，S(a) 0,2 故当a = 1时所围成的面积最大，最大面积为S(l)=.e九、【解】【解】（1）因为A与相似，所以A,B的特征值相同，显然入=1,入2 = 2为特征值,_ 100由 | E A = |E + A I = _Z + 1=2(工 + 1) 2 = 0 得工=0,223122，解得y = 2.由 | AE - A | = |AE-B | 得一 2(工一2)(2)显然A的特征值为入1 =

4、1A2 = 2A3 = 2.由E+A2丨得小=1对应的线性无关的特征向量为心=（2）10001000100由 2E-A1得入2 = 2对应的线性无关的特征向量由 2E+A0得心=2对应的线性无关的特征向量为5001001001001000_ 1令 P = - 210，贝IPAP = B.1 1 11992年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 5 页十、【解】【解】(1)令人=因为B的列为方程组AX = 0的解，所以AB = O由 AB = O 得 r(A) + r(B) 3,再由 r(B) $ 1 得 r(A) 2 3,于是 | A | = 0, 解得入=1.(2)因为 r(A) 2,所以由 r(A) + r(B) 3 得 r(B)l0,入2 0,，入，” 0,pi 0,2 0,，“” 0, 又因为 | AE - C | = |AE-A | |AE-B | ,所以C的特征值为小0,入2 0,，入，” 0,1 0,“2 0,故C为正定矩阵.十二、【解】【解】设事件A = 测量误差绝对值大于19.6,V由XN(0,102)得花N(O,1),p = p(A) = p | X |19. 6 = 1 - P - 1. 96 召 V 1. 96 =1 - (1. 96) -0(- 1. 96) = 2 2(1.96) = 0. 05.设Y表示100次试验中A出现的次数，则Y5(100,0.05),令X =计=5,则Y近似服从参数为5的泊松分布,故 PYN3 =1-PY 0.(2)PX+YW1= J /Q,y)cLzdyr+yWl=f2 dj? e_J dj; = 2 ( e_T eJ_1 ) dzJ o J T J o丄 2 _1=-ex J -ex_1 J = 1 + e1 - 2e 7十四题图 f 11992年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 5 页

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