2007年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析

1、2007年数学(三)真题解析一、选择题(1) 【答案】(B).【解】 由 ln( 1 + x ,得 ln(l + -Jlc )，应选(E).(2) 【答案】(D).【解】 由lim 存在，得lim/(j; )=0,工0 JC， 工-* 0因为在工=0处连续，所以) =/(0) = 0；x* 0由 lim )+ /(_存在，得 limE/(j; ) + /(工)=0,zfO OC x-0因为 /(工)在工=0 处连续 9 所以 lim/(jc ) + /( z) = 2/(0) = 0,于是 /(0) = 0 ；0由 lim 存在9得 lim/(j?) = 0,又因为 /(jc)在 x = 0 处连续9所以 lim/Cz) = /(0) = 09X-*O JC X-*O x-*o再由lim心空=iim 存在得/(O)存在，故(A), (B), (C)均正确.应选(D).X-*O X X0 JC事实上，取fO= I H 显然lim - = 0,但/Q)在z = 0处不可导.【2, z=0, lo zI 方法点评：本题考查函数的连续性与可导性.利用定义判断函数/()在工=a处的可导性时，一般

2、需要考虑如下三点：(1) 保两侧，即 f 3 = lim 心上一 土;)二 fa) = g)”二丿 9 中 A-*0(或z a)方-* 0 h 工亠a x a必须包括/? -*(F及Tz f 0+ (或必须包括攵及工a + )；(2) 函数增量中必须含f(a),若lim 弘)(& H0JH0)存在不能保z h证y(a)存在.(3) 【答案】(C).f3 C2 C3 jr 9 / Sit【解】 方法一 F (3) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt =-=,Jo J0 J 2 Z Z 0F(2) = f (t)dt = -,J 0 ZF(3)=J)H= _：)曲+ )呵一仔守)=普，F ( 2) = f = - 9J 0 J -2 Z3于是 F(-3) =F(2)，应选(C).4方法二 因为f为奇函数，所以FQ) = P7()d为偶函数，2007年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 10 页于是F(-3) =F(3),F(2) =F(2),再根据定积分的几何意义得7T 7TF(2)=-,F(3)=-3tc03故 F(3) = 丁F(2),应选(C).4(4)【答

3、案】(E).应选(E).【解】如图所7J, D =L 、1 7tNt5C 7r，sin x ww7T 一 arcsin y 兀,0夕=( ( ,y)/(z )dy = J dy sin x J 0 J 7T,夕)d工，兀一arcsin y则方法点评：改变积分次序时，需要先画出积分区域，然后根据题目要求改变积分次序，改 变积分次序有如下情形：(1) X型与Y型区域相互改变次序；(2) X型或Y型区域与极坐标之间相互改变次序.(5)【答案】(D).【解】dQdP2P160-2PP80-P=1.由1PQ,得J p p若or-F = 1，则卩=40 ；若-=1,则无解，故P = 40,应选(D).oO r oO r(6)【答案】(D).【解】 因为)=oo，所以z = 0为夕=丄+ ln(l + eJ )的铅直渐近线; xO X由 lim / (j? ) = 0, lim /(je ) = +，得夕=0 为夕=丄 + ln(l + eJ )的水平渐近线; gf8 X由 lim 3 = 1,X f+8 Jt?lim /(无)一工= lim In工+00 工+81+b=0，得y =x为y =丄+

4、ln( 1 + e7 )的斜渐近线.x于是曲线夕=丄+ ln(l + ex)有3条渐近线，应选(D).3C(7)【答案】(A).【解】 方法一 因为(ct _a2) + (a2a3) +(3!)=0,所以由线性相关的定义得a! a2 ,a2 a3 ,3 ai线性相关，应选(A)./ 1 0 -1方法二 (5 口2 ,。2 Oh ,口3 ) = a 皿2 ,。3 ) 1 1 0 0 -1 1因为线性无关，所以矩阵(a1,a2,a3)可逆，2007年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 10 页于是/10-1rCaja22i)= r_110 0-11又因为I 1 00 - 1 /I 01 00 1-1 1 _ 1-1/I0-1011丿00-1-10所以/ 10厂( (a a2,a2a3,a3al)=rl a2,a2a3,a3al)=rl10 =2V3， 0-111即 axa2,a2 a3axa2,a2 a3 ,a3 线性相关，应选(A).方法三 令A = (a j ,a2 ,a3),因为a i a2，3线性无关，所以r(A ) = 3.I101(aj + a2 ,a2 + a3 a3

5、 + a 1) = (j ,a2 ,a3) 1100111 0因为1 10 11 /I 00 =2工0,所以1 11 o 1oj可逆.U从而 r (a i + a2,a2+a3a3+a1)=r(a1,a2,a3)=3,即 cti +a2 ,a2 +a3 ,a3 + 心线性 无关，不选(B)；/ 1 0 2(a 1 2a 2,a2 2a3 ,a3 2a 1) = (a! ,a2 21 0 , 0-2 1 /10-2/ 10 2因为-210=7工。9所以21 0可逆,0-21 0-2 1 /从而厂(a】2a 2a a 2 -2a3 9(/32cti)=厂(a9 a 2 9 a 3)3，即 a i -2d 2-2d 2 9。2 2ct 3 (X (X 3 2a线性无关，不选(C)；/I 0 2(a! + 2a 2, a 2 + 2a 3, a 3 + 2a!) = (a j , a 2, a 3) 2 1 002 F1 0 2/I 0 2因为2 1 0=9工0,所以2 1 0可逆,0 2 1o 2 F从而厂(a 1 + 2a2 ,a2 + 2a3 23 +2a 1) =r(a1=r(a1,a

6、2a3) = 3,即 a 1 + 2。2 a? +2a3 ,。3 +2a i 线性无关，不选(D),应选(A).方法点评：判断向量组的相关性通常有如下思路：(1)定义法.【例1】 设aa ,a2 ,a3线性无关，令01=叭+业，p2=a2p2=a2+ai+ai, 03=弧十心， 讨论P1， ，02， ，03的线性相关性.2007年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 10 页【解】 令右伤+忍仇+匕仇=0,即（码 +b）心 + （码 +k2）a2 + （k2+k3）a3+k2）a2 + （k2+k3）a3 = 0,kiki + 怂=0，因为cti .a2 ,a3线性无关，所以+怂=0，k 2 + kk 2 + k 3 = 0,因为）=2工0,所以紅=k2 k3=k2 k3 =0,即01,02,03线性无关.【例 2 设 ai ,a2 ,a3 ,at 线性无关，令 p =ap =a +。2，p2p2 =a2 +3 Pi =3Pi =3 +4，仇= a4+i，讨论0i ,02，03，03，卩的线性相关性.【解】 因为山一02+03“4=0,所以由线性相关性定义得趴，仇，03 03 触

7、线性相关.（2） 相关性与线性表示性质.（3） 向量组对应的齐次线性方程组是否有非零解.（4） 通过研究向量组构成的矩阵的秩.（8） 【答案】（E）.A -2 1 1【解】 由 |AE-A | = 1 A -2 1 =入（入一3）2=0,1 1 A -2得A A的特征值为A ! =0,A2 =A3 = 3；B B的特征值为心=入2=1,入3=0,即实对称矩阵A与B特征值不同，但特征值中正、负个数 都相同，故A与B合同但不相似，应选（E）.方法点评：判断实对称矩阵的相似与合同方法如下：设 At=A,Bt=B,J?J（1） AB的充分必要条件是lAE-A | = |AE-B | ；（2） AB（2） AB的充分必要条件是A.B特征值中正、负、零的个数分别相等.（9） 【答案】（C）.【解】 第4次射击为第2次命中的概率为c；p（i pyppyp =3p2（1 p p）2,应选（C）.（10） 【答案】（A）.【解】 因为（X,Y）服从二维正态分布，所以X,Y不相关的充分必要条件是X,Y独立,于是/（Z，夕）=/x（Z）几（夕），故fx|y（工I）=仍=Fx（乂），应选（A）.二、填空题（1

8、1）答案】0.【解】因为. jr3 + j? 2 +1 . 3a：2 +lim -: = lim -r:f+8 2 + 工3 +8 2Tn 2 + 3jc6工+ 2In2 2 + 6zlim6= lim -=0,l2X In3 2 + 6、 工3 +工2 + 且 | sin x x + cos x x | V2 9 所以 lim - - - -(sin x x + cos 工)=0.+8 2X + x2X + x2X +2007年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 10 页(-1)2“ !1 _ 1 2z + 3 X（12）【答案】34-1【解】 方法一 = (2h+3)t,夕=(1)2S! (2工+3)T+d ,则夕（0）(一 1)25 !Q ” + 1方法二(一1)23卄13/(n)(0)得叩n !(-1)”2，故夕（0）(-1)25 !由夕=2n = 03卄1方法点评：求函数的高阶导数有如下方法:（1）归纳法.【例 1】设 f Cx) = ln(l 4-x 2jc2) ”求 f (h)【解】 /(?) =ln(ljc)4ln(2jr +1)，ff (x ) =/ 1 d则

9、广）Q）= T +2北一V（2）利用公式（“）=CST (_1)”T(”_1)!=-2北+1Cn) I cl (n1) j I rn (nu v + v 十十 Cr 1)2 (1)T(“ 一1)!(2jt +1)【例 2】 设 f (x) =*jc 2 sin 3工，求 (jc ).【解】广 (x ) = (x2sin 3x )W) )=C： /(sin 3 工)e +a 2 工(sin 3) + C： 2(sin 3 工)(”=xL (sin 3)(0) =_.【解】由麦克劳林公式，得/e-1).vIdTz+1【解】令u =，则u + jc半=“x d_z7/3 2 H TL整理得一严p两边积分得 = nx+C ,U2由j/(1) = 1,得C=1，于是务=lnz +1,故夕(15)【答案】1.【解】A2 =0000,则 r (A3 ) = 1.yyX3uX/n 无 + 0010010(16)【答案】000000,A3-0000000000010003_I 【解】 设X,Y为(0,1)内任取的两个数，令D = Q,j/) |0V_zVl,0yVl,则二 维随机变量(X,Y)在区域D内

10、服从均匀分布，联合密度函数为(鼻，夕)G D ,(Z ,_y ) G D.JJ ,y)cLrdj/=扌.jcy I y1,0,则 p|X-Y|) =三、解答题(17)【解】当= 1时，y=l.yn y x +夕=0两边对x求导数，得警In y +名一1 +兽=0 ,解得警= =_1 . dy =_1j/ (2 + In y)2 dx 3/ (2 + In 3/ )3因为/(1)= vo,又因为Q)在1的邻域内连续，所以由极限保号性，在工=1的 O邻域内/ 0,故夕=夕(工)在(1,1)附近上凸.(18)【解】 如图所示，令Di = (/,，)丨攵+夕=1,攵$0,)0，Dz = ( (X ,y) I lWz 十夕冬：口鼻。,，。,则7 =4(/(z jOclzdy + |/ (a: jOcLzdy),DiD.2007年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 10 页JJ f (j? )dz dy =Dil-xJ： ：2dy =0j: 2 (1 x ) Ax - o 12JJ /(jc ,j；)djcd =D2$ de0_ _ ( -isin G+cos 0 厂 I 2 丄】 dr

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