1996年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码：303)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案写在题中横线上)(1)设方程攵=夕，确定夕是z的函数，则dy =_.(2)设= arcsin x + C , J 于：)d# =_.(3)设(o,Vo)是抛物线=心2 +处+c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应该满足的关系是_.1115(4)设人=25225”一1n1 n4，其中 a H aj (/ 工 j ；i ,j =1,2, “)，则线性方程组AX=BAX=B的解为_.(5)设有来自正态总体XN( ,0. 92)容量为9的简单随机样本，样本均值为F =5,则未知 参数的置信度为0.95的置信区间为_.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)f y f cos 0(1) 累次积分 d3 /(rcos 9 ,rsin 9)rdr 可以写成( ).J o J op f yy2(A) dy /(z 93/)dzJ o J o(C) dx /(jc y)dyJ o J o(

2、2) 下述各选项正确的是( ).(D)cLzJ 0f (x )cLz(A) 若和 讷都收敛，则丫(” + )2收敛n = 1 n = l n = l(B) 若工|收敛，则记与工讷都收敛n = 1 n = l n = 11996年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 10 页(C) 若正项级数发散，则$丄n = l 兀(D) 若级数工un收敛，且un v (n =1,2,)，则级数丫 vn收敛n = 1 n = l(3) 设zz阶矩阵A非奇异( 2),A*是矩阵A的伴随矩阵，则( ).(A)(A* )* = AA n n l lA A (B)(A* )* = |A |n+1A(C)(A * )* = | A | 5 (D)(A* )* = | A |n+2A(4) 设有任意两个n维向量组!，, ,a”和你,肌，仇,若存在两组不全为零的数4，入 2入巾 和 kx ,k2 , ,km ,使得(入 i + 1 )a 1 + + (A kma m + (入 i 菇)“1 + (入 m km)P,n =0,则( )(A) a】，a2,，am和为庆，,”都线性相关(B) a1 ,a2， ，-,

3、am和卩1，矢，卩巾都线性无关(C) a! + p 1，a” + pm ,aj px , ,am 线性无关(D) a 十 0i， ，+ p m ,ax 庆， 0,” 线性相关(5) 已知 0 P(E) be.（1） 求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少；（2） 要使销售额最大，商品单价p应取何值？最大销售额是多少？八、（本题满分6分）求微分方程字=夕_Q+疋的通解.djc x九、（本题满分8分）设矩阵A =0000000001996年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 10 页（1） 已知A的一个特征值为3,求y；（2） 求矩阵P,使得（AP）T（AP）为对角矩阵.十、（本题满分8分）设向量组是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系，向量0不是方程组AX= 0 的解，即A0 H 0.证明：向量组0,0 + a 1,0十a?,0 +见线性无关.十一、（本题满分7分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0. 2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5 个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所 获利润为0,发生三次或三次以上则亏损2万元，求

4、一周内期望利润是多少？十二、（本题满分6分）考虑一元二次方程工2 +工+C=0,其中E,C分别是将一枚骰子接连扔两次先后出现 的点数，求该方程有实根的概率P和有重根的概率q.十三、（本题满分6分）假设X1， ，X2,， ，X”是来自总体X的简单随机样本，已知E（Xk）=akCk =1,2,3,4）, 证明：当兀充分大时，随机变量z” =-Xx；近似服从正态分布，并指出其分布参数.“ .=11996年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 10 页1996年数学（三）真题解析一、填空题（1）【答案】-djrz(l + ln y)【 【解解】 】由工=yy得In工=yn y ,两边对工求导得解得警=乂（1；1“则七=工（1人异卩1 1（2） 【答案】 一 （1川严+C.【 【解解】xf（工）dj： = arcsin工+ C两边对x求导得xf （ j:）= , x2解得J：=工 J _工2 ,j jc ）故 1）dz = J工 J 芒 dx =-J（1 j：2 ） 2 d（l x2 ） =-（1 xz ） 2 + C（3） 【答案】c = ax ,b取任意常数.【 【解解】yf = 2a

5、x + b,曲线在点（工0，夕0）的切线为y yo = （2ajcQ + b）（r 工）,因为该切线过原点，所以Po = +处。，再由yQ = axl + bx0 + c得c = a式，b取任意常数.（4）【答案】（1,0,0,，0）丁.【 【解解】|a|= (乙一勺)工0,Di = | A | ,D2 = 0,D” = 0,则 z i =-右=Is = 0,z” = 0, 故方程组人丁乂 = B的解为(l,0,0,“，0)T.(5)【答案】(4.412,5.588).V u【 【解解】 】 取统计量-N(0,l) ,a = 0. 05, “0.025 = 1. 96 ,丁则参数p的置信度为0. 95的置信区间为(z u0.025，工+ “0.025 ) =(4. 412,5. 588).二、选择题（1）【答案】（D）.【 【解解】变换坐标系，则应选（D）.1996年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 10 页（2）【答案】（A）.【 【解解】 】 方法一 若与2讷都收敛，则）收敛，” =1 ” = 1 ” = 1由0=（“” +“）2 2（讷+谋）及正项级数比较审敛法，级数工

6、（“” +v）2收敛，应选（A）.(2) lim/(z) =limg &)+ * -limgQ)x-*o x-*0 X T-0 X in = 1q 1 8 OO OO方法二 取u = =，显然艺I Unvn | = X/ T收敛，但工发散，（B）不对；d n ” = i ” = i 2 ” = 1n取” = J级数发散，但” = -V丄，（C）不对；2兀 铝 2n n取” = = 一 1，显然” vn （n = 1,2,）且2 %”收敛，但发散，（D）不对，所以应选（A）. ”=1 ”=1（3） 【答案】（C）.【解】由A* = |A IA-1得（A * ） = I A I （A * ）_1 = I A I T -r-r-A = I A I ,I A I应选（C）.（4） 【答案】（D）.【 【解解】 】 由（小+紅）s + + （入”十為）a” +（右一局）力+ + （心km）p,n = 0,得 入 1 （a】十 01）+ + 入”（ （a,” + fim ） + Q （a】+ - + km（am 0,”）= 0.因为 A ! ,A2, U和 k ,k2 , ,km 都不全为零，所以

7、 + p, ,a2 +p2,-,am +pm .a, -/?, ,a2 一庆，a,” -pm 线性相关，应选（D）.（5） 【答案】（B）.【 【解解】 】 由 P(4 +A2) I B = P(A, | B) + P(A2 I B) P(4A2 | B)得 P(A,A2 | B) = 0, 从而 P(AiA2B) = 0,于是 P(A1B+A2B) = P(A1B)+ P(A2B)-P(A1A2B) = P(A1B) + P(A2B),应选(B). 三、【 【解解】 】(1)当 z H 0 时,/(z)=心 ；3C 2当工=0时，gQ) + 亍Xli)T() o xlimg(J)reJL X由=1凹|riim(j)g/(o)+iimgL LfO H T-*0 x扣（0）-1,得 r（ （o）= *g（o）i,z H 0,工=0.(工g，(无)+ e_z g (工)e-工 故 厂(工)=)|*g(0)-1，zf 0 Xg (工)+ exx1996年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 10 页lim士2 oX丄 I応(2X0 X+lim e J 12 f2 xf (x )dj?

8、= 2 cf (c) J 0即卩(c)=卩(1)9由罗尔定理，存在f e (c,l) U (0,1),使得/()= 而(px ) = fjc ) + jcfx ) 故 /() + f/z(f ) = 0.x-*o XI1,因为lim/ （z） = /（0）9所以厂（工）在（一00 i + ）内连续.x-*0lz = /（%）,四、【解】U仔 两边对工求偏导得卩（u）+ pCt）dtJ y/(u)(pf (u)dua?J+ 心), ox解得我=）（；） OX 1 cp lu）z = /(%),+J曲）畀边对求偏导碣一泊册 J yu3 n 3 z故 P(y)二 + pQ)子=0.dx oy五、【解】方法一 由x e-dx =(l + e_J)2jc d11 + eX1 + e-JT-InCl + e + C,得+8x e(l + e_x)2djflim ., -*+ I_1 +-lnd + e)! +ln 2=咕竺二吐摯土2十沁rf+8l + ex0lim _jc ln(l + eJ ) + In 2 ex= lim In- + In 2 = In 2.工-*+ 1 +方法二*+9 Ajc

9、0 (l + e_J)2C+o jc d J ox e=r卡沖1eJ +1Xex +1+0 r+8=J当 ” 0,此时单价P越大，销售收入增加; 当pfrb时篇此时销售单价p越大，销售收入减少.（2）当商品单价p = 腭 _b时，销售额最大，最大销售额是八八、 、【 【解解】 】令U=(Vo 4bc )2.dzx_ 1 _ 厂积分得ln（u +丿/ + 1 ） = In-G，解得弘十丿/ + 1 =,x JC再由_ % + +1 =咅得况=*（手_咅），故通解为）=*（c 青）当 *。时 1+71令“ =2,则“+工冀 =“+ /J寸，或W= 立， 工 d_z v 2 + tat0,0,由a| .a2 ,，/,线性无关得厂=k2于是怂=0,故向量组0 ,0 + a( ,j? + a2, ./J 4 a(线性无关.十一、【 【解解】 】 设X表示一周内机器发生故障的次数，则X B(5,0. 2),设一周内所获利润为Y,则Y = + 5PX = 1 2P3 X W 5, 由PX = 0 =0. 85 = 0. 327 68,PX = 1 = 5X0.8 X 0. 2 = 0. 409 6,

10、PX = 2 = 10 X0. 83 X0. 22 = 0. 204 8,PX 3 = 1-PX = 0 - PX = 1 - PX = 2 = 0. 057 92,得 E(Y) = 5. 208 96(万元).十二、【 【解解】 】 令儿=方程有实根, A2 = 方程有重根，则儿=B2 -4C 0 = B2 4C, A2 = B2 -4C = 0 = B2 = 4C,骰子连续扔两次的样本点总数为” =36,B,C的可能取值为1,2,3,4,5,6,时，有利于A】的样本点为0,有利于A2的样本点为时，有利于Ai时，有利于A】时，有利于人的样本点为1，有利于人2的样本点为2,有利于人2的样本点为4,有利于人2的样本点为的样本点为的样本点为时，有利于人时，有利于A】的样本点为6,有利于A?的样本点为6,有利于A?的样本点为1;1;的样本点为0,BBBBBB123456000故P0+1 十 2 + 4 + 6 + 6 19 1 + 1 136 9 = ST = IS361996年全国硕士研究生考试数学三真题第 9 页，共 10 页十三、【证明】 由X|,X2,，X”独立同分布，得独立同分布,

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