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1991年全国硕士研究生考试数学（三）真题（原卷）

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1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码：303)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案写在题中横线上.)(1) 设 z ，则 dz =_.(2) 设曲线/(z)=攵3 +az与g (工)=bx2 +c都通过点(1,0),且在点(一1,0)有公共切线,贝!j a =_,b =_(3)设 / (a: ) xe ,则 /(n) (rr )在点 z =处取极小值(4)设A和U为可逆矩阵,X = (,X = ( T为分块矩阵，则X1 =B OB O(5)设随机变量X的分布函数为F(jc ) P X jc =0 9 V 1，0.4，一 lWzVl：0. 8, 1 jc Q,b 0.五、(本题满分5分)求微分方程+ y2满足条件夕|=e=2e的特解.djr六、(本题满分6分)假设曲线匚：夕=1工2(0工1),工轴和，轴所围区域被曲线L2：y=ax2分为面积相等的两部分，其中a是大于零的常数，试确定a的值.1991年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 4 页七、（本题满分8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为仙和代；销售量分别为5和么；

2、需求函数分别为5=24 0. 2pi和q2 =10 0. 05p2，总成本函数为C =35 + 40（1 +g2），试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？八、（本题满分6分）试证明函数心）=（1+右厂在区间（0，+*）内单调增加.九、（本题满分7分）设有三维向量/1+A1 1 a 1 = 1 | ,a 2 =（入 + 1 9a3 1 / 1 /问入取何值时：（1） 0可由a! ,a2,a3线性表不，且表达式唯一；（2） 0可由a! ,a2,a3线性表示，且表达式不唯一;（3） 0不可由ax ,a2 .a3线性表示.十、（本题满分6分）二次型 /（j： 1、工 2 ,工3）=# +4云 + 3 + 2Ajr ! J： 2 ! J： 3 + 4j?2-3，问入取何值时，f 为正定二次型.1991年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 4 页十一、（本题满分6分）试证明n维列向量组ai,a2, 线性无关的充分必要条件是T TT Ta 2 a 1 a 2 a 2T Ta ana2ana2Ta a i aT a2 aH o,其中a：为向量a,的转置G =1,2,“）.十二、（本题满分5分）一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.十三、（本题满分6分）假设随机变量X和Y在圆域工2 +夕2 W兀上服从联合均匀分布.（1）求X和丫的相关系数（2）问X和Y是否独立？十四、（本题满分5分）设总体X的概率密度为/&）= 卜“鼻Io,其中入0是未知参数,a0z W 0,是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X,X2，“，X”，求入的最大似然估计量11991年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 4 页

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