2000年全国硕士研究生考试数学（三）真题（含解析）

1、2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 11 页2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 11 页2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 11 页2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 11 页当 0 1 时,PIX2X-k , 2X(6 3)、2=- -3 9 3当 bVO 时，尸X$S=1,故O【答案】着.【解】 X的密度函数为/(.) JIo,一 1 工 2,其他.PY = -1 =PX o = y(j?)dj?=,Jo oE(y)=y, E(0) =1,厂0 1 即Y的分布律为YU 0 A 3 3 o故 D(Y) =E(y2) - ：E(Y)2 =.二、选择题(1)【答案】(D).丁2 1 d + 2【解】 令华(乂)= 2 ，- 于(2)=1, g(x ) = 2 ，贝 |J 0(z) W /(z) W g(z),3C +1 X +13且 limg (x ) 一(工)=lim -= 0 9但 lim/(a? ) = 19 贝!j ( A) , (C)不正确；gfOO 工 j 8令( (p(x) =ex e_ 1 x 1 9

2、 f (兀)= 9 g (h ) = e + J E 9 则卩(z ) W /Xz ) W g (工)9 且limg (工)一爭(2) = lim2e_ = 0，但lim/(h )不存在9则(E)不正确，应选(D)jr 00 x -* 00 x -*00(2)【答案】(B).【解】 设 /(a) =0, /(a) H 0,令 g(H ) = I /Xz ) I g7a)= lim g)-gl)=lim f21 = _ lim =_|f(a)| ,厂 oc a xa- x a x ag仏)=lim gGg()= Hm 归21= Hm 心)_)=|)| ,_a+ JC a x a + X a若 y(a)H0,则 gI(a)Hg；(a)，即 fCx) | 在 x =a 处不可导，应选(E).方法点评：设f O 在攵=a处可导，I /(j: ) I在工=a处的可导性如下：(1) 若 /(a)HO,则 | /(a: ) | 在 z=a 处可导；(2) 若/(a) =0,则当fO = 0时，|于(工)|在工=a处可导；当/(a) H 0时，丨_/(工)| 在x =a处不可导.(3)【答案】(C).

3、【解】 由r(A) = 3,得AX = 0的基础解系含一个线性无关的解向量, 其基础解系为 = (。1一(/2)+ (叭一。3)= (2,3,4,5)T,2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 11 页（C为任意常数），应选（C）.（4）【答案】（A）.【解】 设AX = O,则AtAX= 0,即（I ）的解一定是（U ）的解; 设 AtAXo=O,则 xJataxo=o 或（ （axo） ）taxo=o, 于是AX=0,即（H ）的解也一定是（I ）的解，应选（A）.方法点评：本题考查两个方程组的解的关系与系数矩阵秩的关系.设AX = 0与BX=BX= 0为两个齐次线性方程组，则（1） 若AX = 0与BX=BX= 0同解，则r（A）=r（B）,反之不对；（2） 若AXAX = = 0的解为BX=BX= 0的解,BX=,BX= 0的解不一定为AX=AX= 0的解，则厂（A）$r（B）.（5）【答案】（C）.【解】事件电炉断电发生当且仅当至少有两个温控器显示的温度值大于等于仏， 若4个温控器的温度值有T T T T，则事件E等于Ti0， 应选（C）.三、【解】 一2j/

4、=0的特征方程为A2 2A =0,特征根为A ! =0,入2 = 2, 方程 一 =0 的通解为 y =C C2 e2j:.令方程j/一 2j/=e的特解为y0 =axex，代入原方程得a =-, 原方程的通解为y = G + C2e2x + .3 1由 y(0)=l，j/(0)= 1 得 Cj = , C2 =3 1 1故特解为=T + Te-+-e-x = rcos 0 9四、【解】如图所示，令| . y = rsin 9W0WO 9OW 厂 W 2a sin 9 42asin 0_dzdy = 222 a x y2 r/4a2 r2r = 2a sin t dr =deT*2a sin 06 2 sin2 Z2z r dr , a/4 得 18 2Q =12 Q，得 2Qi Q 6=0,令 F(Q ,Q2 A ) = 5 十 I6Q1+ 10Q2 2Q： ： + 入(2Q Q2 6),(3F=16 4Q + 2A = 0,3Q 7=10 2Q2 A = 0,得 Q =5,Q=4,从而 p = 8,-=2Ql-Qz-6=0,最大利润为L =49（万元）.比较两种价格策略可知，实行价

5、格差别定价所得利润大于统一价格的利润.六、【解】 令“=花土手注+心=o,得#= 1,工=o.当工-1时，（）;当一1 工 0时，V0；当工0时，j/0,则（oo, 1及0,+oo）为函数的单调增区间；1,0为函数的单调减区间， jc 1为极大值点，极大值为夕（一 1） = 2e4 ； = 0为极小值点，极小值为夕（0） = e2 .因为 lim 4= lim ei+arc，anx =1,l1m/()-x= limE( el+arCtan 1)占”丽=所以y =_z 2为曲线的斜渐近线;又因为2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 7 页，共 11 页y+arctan x elim -:f+811 +2 K -e = Ze，x2所以y =eQ 2)为曲线的另一条斜渐近线.sinz d(sin x )o七、【解】由In = 7 sin”H cos x dx = J 0 sM+l 工72 + 1oo 8 j / 得孚诣士関0九+1中 九+ 1”+100 卄1令 S( (.) )= S-7”=o兀十1OO由 s( (_r) )=2工=-” =0 1 攵于是=sn = 0=In，级数sn =

6、 0”+17的收敛区间为(一1,1), ZZ十19 得 S(h)=S(0)+ Sz (re )dj? = ln( 1 x ), J 0=ln(2 + 短)./(i)di , F(0)=F(兀)=0.0由罗尔定理，存在c G (0,7t)，使得F(c)=0,即/(c) =0.不妨设在(0,7T)内/(.Z )除C外没有其他零点，则/(J?)在(0,C)与(C,7t)内异号， 不妨设当 Z G (O,c)时 /(J； ) 0 ；当 Z G(C,7T)时 /(J7 ) 0,同理 J (cosx cos )dj?0,故(cos x cos c)/(x 0.o* f 7tcos xfx )dj： cos c )dz =0,矛盾，0 Jo而(cos x cos c)/(7 )djc =0所以/()在(0,兀)内至少有两个零点.方法点评：本题考查定积分的如下性质:设)在a上连续，) $ 0但/(j:)不恒为零，贝U /(jr )djc0.九、【解】0可否由向量组!，2,3线性表示等价于非齐次线性方程组心血+工2。2+工3。3=0是 否有解.a-2-1A | = 5 心2 心 I =211=a 4.1

7、054(1)当a H4时，因为方程组h41+ jr2a2+a:3a3=jJ有唯一解,2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 8 页，共 11 页所以0可由心 当a = 4时，I -4210唯一线性表示;/20b2b + 1 c 5bb2b + 1c 3b + 1A A = =-1141b010011-1200110010-215(2) 当 c 3b + lH 0 时，因为 r(A) r(A),所以方程组 r rx xa ax x -x-x2 2a a2 2 +工3(3=0 无解，即 0 不可由向量组a ax x ,a2 ,a,a3 3线性表示；(3) 当 c 36 + 1 =0 时 9 因为厂(A)=r*(A) = 2V39 所以方程组 j71a1+j72a2_H3a3= 有无 数个解，即P P可由向量组a 1 ,a2 ,a,a3 3线性表示，但表示方法不唯一，由A A/211b 0126 + 1000ob + 1110b + 1220012b + 100002得心0：1+工2。2十工3 03=0的通解X = k，一 120.26 + 1(k为任意常数)，+0故0=_仏+歸)a aj

8、 +2a2 + (26 + 1 )(X3(怡为任意常数).方法点评：本题考查非齐次线性方程组与向量组线性表示之间的关系.2U1 + a 12攵 2 H-+oi”z” =山，. 21工1 +a22 攵 2 -+a2”H”=2，对齐次线性方程组Y令a】=令A =a 1152 aa 21如2 a:口 mla沁 aa 11a 1221a 22，a2 =:、Q 丿m2 ,X =Mi +2工2 H-a,”z” =bm.b2a2n，方程组的矩阵形式为AXAX = = b,b, nt J12，方程组的向量形式为bm工1攵2x,b ,b =XiCt +Ga2 +z”a”=b.方程组的解、矩阵的秩、向量组的线性表示之间的关系为：(1) 非齐次线性方程组有唯一解少f(A)=r(A)=”少向量方可由向量组a ax x ,a,a2 2, , - ,a,a唯 一线性表示；(2) 非齐次线性方程组有无数个解(A) =r(A) V/zG向量b b可由向量组a! ,a2, ,a,an n 线性表示，但表示法不唯一；(3) 非齐次线性方程组无解少厂(A)Hr(A)少向量b b不可由向量组a】,a2，,a”线性表示.200

9、0年全国硕士研究生考试数学三真题第 9 页，共 11 页十、【解】%X =，对任意X有f(x j，乞”)$ 0,jc i a jc 2 := 0 9工 2 +2工3 =0,时成立.Z”_l + 2_1 = 0 ,xn + i =0且 /(J?! ,X2，- ) =0 当且仅当 :该方程组只有零解的充分必要条件为001100a21D000=1 + (一 1)+1如2/(j) = e 2 ( 00 V jy V+ 00 ) 9丿2兀e 2 dy+1 axa2 a”+iaxa2H 0时，对任意的XHO有/Xg ,工2,，工”) 0, 工2，H”)为正定二次型.b =E(X) =E(eY)= . a/2tt 丿-一J e dt =-10. 05时，标准正态分布的左、右分位点为 196,因为YN ( 9无亠(2)当 aey t 2 d(j/ fi )9r+ ”+丄e 2 d(t 1) =e 2J 一 8，所以 2(Y )N(O,1),+oo 1e- 4e C+8 .- e九=e诒于是 P 1. 96 V 2(Y /) V 1. 96 =0. 95,_ . _ In 0. 5 + In 0. 8 + In 1. 25 + In 2 ,0 D , n0 ” 八 noX n n-又由 夕=- -=0,得 P 0. 98 0. 98 =0. 95 ,即置信度为0.95的的置信区间为(一 0.98,0.98).(3)由 P0. 98 V” V0. 98 =0. 95,得 P (-0. 48 /z + y 1. 48)=0. 95,由 e 的单调递增性得 Pe-48 e e1-48 =0. 95,即 Pe-0-48 b 1) (2q 1) 4r 4pq ,则X,Y不相关的充分必要条件是Cov(X,Y)= 0或pq=r，即事件独立.2000年全国硕士研究生考试数学三真题第 11 页，共 11 页

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