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高等数学答案B卷...考试

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常见问题

1、中国民航大学高等数学 (2) 期末试卷(AB班) 答案及评分标准一.选择题(每题 3 分,共 15 分 ) 1. 二元函数yxf,0, 0,00 ,0,322yxyxyxxy在原点处 A连续，偏导数存在B不连续，偏导数存在C偏导数存在且可微D不连续，偏导数也不存在选 B。2. 已知曲面224yxz上点 P 的切平面平行于平面0122zyx，则 P 点的坐标为 A （1， 1，2）B （ 1，1，2）C （1，1， 2）D （ 1， 1，2）选 C。3. 设曲面是上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z 0)，曲面1是曲面在第一卦限中的部分，则有( )。A14xdSxdS；B14xdSydS；C14xdSzdS；D14xyzdSxyzdS。选 C。4. 若幂级数1)2(nnnxa的收敛半径是2，则1nnnxa的收敛半径为： (A) 2；(B)1；(C)2 ；(D)4。选 D 。5. 微分方yy的通解 y = 。A3221cxcxcexB3221cxcxcC321cxcecxD32231cxcxc选 C 。二. 填空题(每题 3 分 ,共 15 分)1.设xyxz2ln，则01

2、yxyz12。2设vufz,可微，其中yxvxyu,，dzdyvfyxufxdxvfyufy)()1(2。3曲线2244xyzy在点（ 2， 4，5）处的切线与x轴所夹锐角4。4交换二次积分的次序：21222),(xxxdyyxfdx=101122),(yydxyxfdy。5. 是界于 z = 0 和 z = 3 之间的圆柱体x2 + y2 9 的整个表面的外侧，则zdxdyydzdxxdydz= 81。三.求解下列各题（每题8 分，共 16 分）1 设22sin ,xzf ey xyf是二阶连续偏导数，求yxzyz2及解：yfyefyzx2cos21, （ 2 分）xfyefxzx2sin21（2 分）22211211122cos2sin2sincosyfyefxyeyfyefyefyxzxxxx（2 分）221211214sincos2cossincosxyffyyyxeyfyeyfexxx（2 分）2设203222222zyxyxz，求dxdy，dxdz解：将所给方程两边对x求导，得xdxdzzdxdyyxdxdzdxdyy3222, （2 分）D0263212yyzzyy（2

3、分）13216312zyzxDzxxdxdy, （2 分）13222zxDxyxydxdz（2 分）四计算下列各题（每题8 分，共 32 分）1计算二重积分Ddxdyyx2)(，其中D：)0(222aayx。解：利用极坐标变换rdrdrrdxdyyxDD22)sincos()(（3 分）ddrra0203)cossin21(（3 分）421a（2 分）2 计算由四个平面1,1,0,0yxyx所围成的柱体被平面0z及632zyx截得的立体的体积。解: 由二重积分的几何意义, 所围的立体的体积为:dxyxyydyyxdxV101010102)2326()326(27)229(10dxx3Lxydx ，其中 L 为圆周(x a)2 + y2 = a2 (a0)，及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 (按逆时针方向绕行)；解：将圆周ABO：(x a)2 + y2 = a2 用参数方程表示：taytaaxsincos（0 t）；x 轴上的一线段OA 为： y=0，（0 x 2a）；则：（3 分）Lxydx0ABOOAxydxxydx+0)sin(sin)cos(dttatataa

4、（2 分）023sin)cos1(tdtta023023sincossintdttatdta023a32a。（3 分）2a a y x o AB4计算曲面积分dSzxyzxy)(, 其中曲面为锥面22yxz被柱面 x2 + y2 = 2ax所截得的有限部分。解：曲面在 xoy 坐标面上的投影区域D 为： x2 + y2 2ax，（2 分）22)()(1yxzz=2 ，（ 2分）dSzxyzxy)(=Ddyxxyxyxy2)(2222=cos2022)cossinsincos(2ardrrrrrrrd=224)cos2(41)cossinsin(cos2da=225454)coscossinsin(cos24da=1516244a=415264a 。（4 分）五（8 分）求幂级数求2021!nnnxn的收敛半径，并求和函数。解由于0!12)!1(32lim222nnnxnnxnn，故收敛半径为。（3 分）令2021(),(,)!nnns xxxn. 逐项积分得200021( )!xxnnns x dxxdxn222100()(,)!nnxnnxxxxexnn，（3 分）于是 , 当x时，222()()(12)xxs xxeex（2分）六（8 分）设可导函数(x)满足1sin)(2cos)(0 xtdttxxx，求(x)。解：求导得1sin)(2sin)(cos)(xxxxxx，即1sin)(cos)(xxxx（2 分）它所对应的齐次方程0sin)(cos)(xxxx的通解为xCycos，（2分）设xxcycos)(是1sin)(cos)(xxxx的解，代入得,cos1)(2xxc所以Cxxctan)(，从而xCxycossin，（2 分）代入初始条件1)0(得1C，故xxxcossin)(。（2 分）七（6 分）证明：Lyxdydxe22，其中L是xyx8422正向一周。解：因曲线为封闭曲线，P,Q满足 Green 公式条件，从而直接应用Green 公式有：原式DDydxdyyedxdyyPxQ)21()(2（2 分）DDydxdyyedxdy22（1 分）021（2 分）2（1 分）

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