平方差公式错解剖析.doc

平方差公式错解剖析安徽　　明　师　　【题1】计算：　　(1)(2x+3)(2y-3)； (2)(2x+9)(2x-9)；　　(3)(a3-8)(a3+8)； (4)(-2a-7)(2a-7)．　　[误解]　　(1)(2x+3)(2y-3)=4xy-9；　　(2)(2x+9)(2x-9)=4x2-9；　　(3)(a3-8)(a3+8)=a9-64；　　(4)(-2a-7)(2a-7)＝4a2-49．　　[正解]　　(1)(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9；　　(2)(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81；　　(3)(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64；　　(4)(-2a-7)(2a-7) = (-7-2a)(-7+2a)　　=(-7)2-(2a)2=49-4a2．　　[错因分析与解题指导]本题的[误解]都是在应用平方差公式时没有严格按公式要求而造成这样那样的差错．　　题(1)(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．　　题(2)(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92，[误解]中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，很容易犯这样的错误．　　题(3)(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9　　题(4)(-2a-7)(2a-7)符合使用平方差公式，但到底是哪个数的平方减去哪个数的平方呢？[误解]中认为就是前面一个数的平方减去后面一个数的平方，但(-2a-7)(2a-7)≠(-2a)2-72，应该是两式中符号相同的数的平方减去符号相反的那个数的平方，即：　　(-2a-7)(2a-7)=(-7-2a)(-7+2a)　　=(-7)2-(2a)2　　或(-2a-7)(2a-7)=-(2a+7)(2a-7)　　=-[(2a)2-72]．　　平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，就是说：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．平方差公式应用广泛，我们应该牢固掌握公式的结构特征，准确理解公式的意义，才能正确地应用公式解决问题．　　【题2】计算：　　(1)(x+1)2；　　(2)(x2-y2)(x2-y2)；　　(3)(3x+2y)2；(4)．　　[误解]　　(1)(x+1)2=x2+1；　　(2)(x2-y2)(x2-y2)=x4-y4；　　(3)(3x+2y)2=9x2+6xy+4y2；　　(4)．　　[正解]　　(1)(x+1)2=x2+2x+1；　　(2)(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4；　　(3)(3x+2y)2=(3x)2+2·3x·2y+(2y)2　　=9x2+12xy+4y2；　　（4）．　　[错因分析与解题指导]本题用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行计算，也就是说：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．　　[误解]中题(1)漏掉了加上它们积的2倍，(x+1)2≠x2+1，不能与积的幂( (ab)n =anbn)混淆．　　题(2)(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2，[误解]中错误地运用平方差公式来计算了，(x2-y2)　(x2-y2)≠(x2-y2)(x2+y2)＝x4-y4．　　题(3)(3x+2y)2展开式中“它们积的2倍”是2·3x·2y＝12xy，因为第二数2y有一个“2”，所以很容易忘掉“2倍”．　　题（4）展开式中，因此原来的系数是完全平方数，因此，也很容易忘了把它再平方．　　【题3】计算：　　(1)(a-2)(a2+2a+4)；　　(2)(x+1)(x2-2x+1)；　　(3)(x2-x+1)2(x+1)2；　　(4)(a+b)(a2+ab+b2)+(a-b)(a2-ab+b2)．　　[误解]　　(1)(a-2)(a2+2a+4)＝(a-2)(a+2)2；　　(2)(x+1)(x2-2x+1)＝x3+1；　　(3)(x2-x+1)2(x+1)2　　＝[(x2-x+1)(x+1)]2　　＝(x3-1)2＝x6-2x3+1；　　(4)(a+b)(a2+ab+b2)+(a-b)(a2-ab+b2)　　＝a3+b3+a3-b3＝2a3．　　[正解]　　(1)(a-2)(a2+2a+4)＝a3-8；　　(2)(x+1)(x2-2x+1)＝(x+1)(x-1)2　　＝(x2-1)(x-1)　　＝x3-x2-x+1；　　(3)(x2-x+1)2(x+1)2　　＝[(x2-x+1)(x+1)]2　　＝(x3+1)2＝x6+2x3+1；　　(4)(a+b)(a2+ab+b2)+(a-b)(a2-ab+b2)　　＝a3+2a2b+2ab2+b3+a3-2a2b+2ab2-b3　　＝2a3+4ab2　　[错因分析与解题指导]　　题(1)符合立方差公式　(a-b)(a2+ab+b2)＝a3-b3　　可以直接用公式计算，但[误解]却把公式中第二个因式——“它们的平方和与它们的积的和”与完全平方公式混淆了，a2+2a+4≠(a+2)2＝a2+4a+4．　　题(2)(x+1)(x2-2x+1)不符合立方和公式，它的第二个因式是完全平方式，[误解]误用立方和公式是不对的．　　题(3)中(x2-x+1)(x+1)＝(x+1)(x2-x+1)＝x3+1，而[误解]中认为两个因式位置交换后就变成x3-1了．　　题(4)(a+b)(a2+ab+b2)+(a-b)(a2-ab+b2)中的两个积都不符合立方和公式与立方差公式，要特别当心公式中第二个因式中“它们积”的符号应与第一个因式中“和”或“差”的符号相反．　　应用立方和、立方差公式，一定要在理解的基础上牢固掌握公式的结构特征，应用时要仔细看清题目是否符合应用公式的条件，千万不能粗心大意．4。