法向量法求二面角.ppt

设 ，则有（图1）或 （图2）分别为平面α,β的法向量，二面角二面角，， 大小为向量 的夹角为θθββl lααθθββl lαα一一. 利用法向量求二面角的大小的原理利用法向量求二面角的大小的原理:基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．图1图2，， θθββl lααθθββl lαα一一. 利用法向量求二面角的大小的原理利用法向量求二面角的大小的原理:图1图2约定，图1中，的方向对平面α而言向内.的方向对平面α而言向内.的方向对平面α而言向内.的方向对平面α而言向外.图2二二. 如何求平面的一个法向量如何求平面的一个法向量:1 1、定、定义：如果表示向量平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条这时向量叫做平面平面α的法向量的法向量. 的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作⊥⊥α, 个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定如图,设=( x1,y1,z1)、 =(x2,y2,z2)是平面α内的两理知,若且则换句话说,若且则可按如下步骤求出平面的法向量的坐标.第二步(列):根据可列出方程组第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特的坐标.=(x,y,z).第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为且第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.殊越好),便得到平面法向量例题例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。

DABCA1B1C1D1GEFxyz以D为原点建立右手空间直角坐标系，如图所示，解：DABCA1B1C1D1GEFxyz则不妨设正方体的棱长为一个单位长度由此得设平面的法向量为由可得令y=1,取平面的一个法向量为注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下，模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.例题例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．O（（A））BA1C1B1D1DCQzyx解解 ：： 如图2，建立空间直角坐标系．依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0），D（0，4，0），242面AA1D的法向量设面A1DQ的法向量为则 令a1=1， 则二面角的平面角为锐角∴二面角A—A1D—Q的大小为．AzyxDCBS图5例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AB=BC=1， 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图5则11显然平面SBA的一个法向量为设平面SCD的一个法向量为则则根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小的大小为评析：评析：因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势ADCBS图5E解：延长BA，CD 交于E，则面SCD∩面SBA=SE.111易求得F过A作AF⊥SE于F，连结DF则DF ⊥SE.ADCBS图5E111F∠DFA即为侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角.在RT△SAE中，在RT△AFD中，侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小为。